Пример 1: Решить уравнение $$sinx+sin^2\frac{x}{2}=cos^2\frac{x}{2}$$
Решение:
Применим формулу косинуса двойного угла:
$$sinx=cos^2\frac{x}{2}−sin^2\frac{x}{2}$$
$$sin x=cos x$$
Уравнение вида: acosx+bsinx=0. Делим обе части на cosx
$$\frac{sinx}{cosx}=\frac{cosx}{cosx}$$
$$tg x=1$$
$$x=\frac{\pi }{4}+\pi n$$
Ответ: $$x=\frac{\pi }{4}+\pi n$$
Пример 2: Решить уравнение $$cosx=(cos\frac{x}{2}-sin\frac{x}{2})^2-1$$
Решение:
Все тоже довольно тривиально: раскроем скобки справа:
$$cosx=cos^2\frac{x}{2}-2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+sin^2\frac{x}{2}-1$$
Основное тригонометрическое тождество:
$$cos^2\frac{x}{2}+sin^2\frac{x}{2}=1$$
Синус двойного угла:
$$2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}=sinx$$
Окончательно получим:
$$tg x=-1$$
$$x=-\frac{\pi }{4}+\pi n$$
Ответ: $$x=-\frac{\pi }{4}+\pi n$$
