Пример 1:
Вычислить двойной интеграл

\(I=\int_{0}^{R}{dx}\int_{-\sqrt{R^2-x^2}}^{\sqrt{R^2-x^2}}{\frac{tg\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}dy}\)

используя полярные координаты.


Решение:

Область интегрирования D представляет собой полукруг, размещено в четвертом и первом квадрантах (рисунок 1.1)




Рисунок 1.1


Формула перехода к полярным координатам имеет вид:
 

\(\int \int_{D}{f(x,y)dxdy}=\int \int_{D}{f(\rho cos\varphi ,\rho sin\varphi )\rho d \rho d\varphi }\),

где область D задана в декартовой системе координат xOy, а D' - соответствующая ей область в полярной системе координат.

Перейдем
к полярным координатам заменой:


\(x=\rho cos\varphi , y=\rho sin\varphi , x^2+y^2=\rho ^2\) где \(0\leq \rho \leq R\)  \(-\frac{\pi }{2}\leq \varphi \leq \frac{ \pi }{2}\)

Тогда: 

\(I=\int_{\frac{-\pi }{2} }^{\frac{\pi }{2}}{d\varphi }\int_{0}^{R}{\frac{tg\rho }{\rho }}\rho d \rho =\int_{\frac{-\pi }{2} }^{\frac{\pi }{2}}d\varphi \int_{0}^{R}{(tg \rho )}d \rho =-\int_{\frac{-\pi }{2} }^{\frac{\pi }{2}}(ln|cosR|-ln1)d\varphi =\)

\(=-\int_{\frac{-\pi }{2} }^{\frac{\pi }{2}}(ln|cosR|)d\varphi = - ln(cos R)(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2})=-\pi ln|cosR|\)



Ответ
: \(-\pi ln|cosR|\)

Пример 2:
Вычислить  двойной интеграл
\(\int \int_{D}{ln(x^2+y^2)}dxdy\), если область D - кольцо между окружностями  \(x^2+y^2=e^x\) и \(x^2+y^2=e^4\).

Решение:
Перейдем к полярным координатам:

\(\int \int_{D}{ln(x^2+y^2)}dxdy=\int \int_{D}{ln\rho ^2\cdot \rho d\rho d\theta } =2\int \int_{D}{\rho ln\rho d\rho d\theta }=\)

\(=2\int_{0}^{2\pi }{d\theta }\int_{e}^{e^x}{\rho ln \rho d\rho }\)


Взяв по частям интеграл, зависящий от \(\rho\), получим:

\(2\int_{0}^{2\pi }{[\frac{1}{2}\rho ^2ln\rho -\frac{1}{4}\rho ^2]}\mid_{e}^{e^x}d\theta =\pi e^2(3e^2-1)\)
 
Ответ:
\(\pi e^2(3e^2-1)\)


2012-12-21 • Просмотров [ 7490 ]