Пример 1:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

xy = 1, \(x^2=y,\)y=2, x=0.
Решение:
Данная плоская фигура ограничена снизу гиперболой  \(y=\frac{1}{x}\), сверху прямой y=2, а также параболой  \(x^2=y\) и осью OY (рисунок 1.1).
Итак получаем:

\(S=\int \int_{D}{dxdy}=\int_{0}^{1}{dy}\int_{0}^{\sqrt{y}}{dx}+\int_{1}^{2}{dy}\int_{0}^{\frac{1}{y}}{dx}=\)

\(\int_{0}^{1}{\sqrt{y}dy}+\int_{1}^{2}{\frac{dy}{y}}=\frac{1^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}-0+ln2-0=\frac{2}{3}+ln2\)



Рисунок 1.1

Ответ: \(S=\frac{2}{3}+ln2\) (кв.ед)

Пример 2:
Вычислить площадь поверхности цилиндра \(x^2=2z\) отсеченной плоскостями \(x-2y=0, y=2x, x=2\sqrt{2}\)  рис1.2
Областью интегрирования служит треугольник ОАВ. Из уравнения цилиндра имеем:

\(\frac{\partial z}{\partial x}{}=x, \frac{\partial z}{\partial y}{}=0\)

Тогда:

\(S=\int \int_{0}{\sqrt{1+x^2}dxdy}=\int_{0}^{2\sqrt{2}}{\sqrt{1+x^2}dx}\int_{x/2}^{2x}{dy}=\)

\(=\int_{0}^{2\sqrt{2}}\frac{3}{2}x{\sqrt{1+x^2}dx}\frac{3}{4}\int_{0}^{2\sqrt{2}}{(1+x^2)^\frac{1}{2}}d(1+x^2)=\)

\(=\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3}(1+x^2)^\frac{3}{2}\mid_{0}^{2\sqrt{2}}=13\)



Рисунок 1.2


Ответ: 13 (кв.ед)






2012-12-25 • Просмотров [ 980 ]