Пример 1:
С помощью двойного интеграла вычислить в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной линией \(\rho =\alpha sin 3\varphi\)

Решение:
Область D, изображенная на рисунке 1.1, состоит из трех одинаковых симметричных лепестков, поэтому имеем:

\(S=\int \int_{D}{\rho d\rho d\varphi }=6\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}{d\varphi }\int_{0}^{\alpha }{\rho d\rho }=6\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{\alpha ^2}{2}}d\varphi = 3\alpha ^2\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}{d\varphi }=\pi \alpha ^2\)



 Рисунок 1.1

Ответ:  \(\pi \alpha ^2\) (кв.ед)

Пример 2:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями 
\(\rho =1, \rho =(2/\sqrt{3})cos\), (вне окружности \(\rho =1\); рис.1.2)