Пример 1:
С помощью двойного интеграла вычислить в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной линией \(\rho =\alpha sin 3\varphi\)

Решение:
Область D, изображенная на рисунке 1.1, состоит из трех одинаковых симметричных лепестков, поэтому имеем:

\(S=\int \int_{D}{\rho d\rho d\varphi }=6\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}{d\varphi }\int_{0}^{\alpha }{\rho d\rho }=6\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{\alpha ^2}{2}}d\varphi = 3\alpha ^2\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}{d\varphi }=\pi \alpha ^2\)



 Рисунок 1.1

Ответ:  \(\pi \alpha ^2\) (кв.ед)

Пример 2:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями 
\(\rho =1, \rho =(2/\sqrt{3})cos\), (вне окружности \(\rho =1\); рис.1.2)

Рисунок 1.2
Найдем координаты точки А, имеем:

\(1=(2/\sqrt{3})cos\), \(cos\theta =\sqrt{\frac{3}{2}}, \theta =\frac{\pi }{6}\),

то есть \(A=(1;\frac{\pi }{6})\)

Тогда:

\(S=\int \int_{D}{\rho d\rho d\theta }=2\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}{d\theta }\int_{1}^{(2/\sqrt{3})cos\theta }{\rho d\rho }=\)

\(=2\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}[\frac{1}{2}\rho ^2]\mid_{1}^{(2/\sqrt{3})cos\theta }d\theta =\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}{(\frac{4}{3}cos^2\theta -1)}d\theta =\)

\(=\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}{(\frac{2}{3}+\frac{2}{3}cos2\theta -1)}d\theta =\frac{1}{3}\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}{(2cos2\theta -1)}d\theta =\)

\(=\frac{1}{3}[sin2\theta -\theta ]\mid_{0}^{\frac{\pi }{6}}=\frac{1}{3}(sin\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6})=\frac{1}{18}(3\sqrt{3}-\pi )\)


Ответ: \(\frac{1}{18}(3\sqrt{3}-\pi )\)








2012-12-25 • Просмотров [ 2825 ]