Задача на нахождение экстремальных значений функции

Какими должны быть максимальные размеры ящика, если для его изготовления дано \(3м^2\) материала.
Решение:
Пусть сторона основания ящика - а, а высота ящика -b. Площадь поверхности ящика \(S=a^2+4b\).

По условию задачи она равна
\(3м^2\). Тогда \(a^2+4ab=3\). Эта функция является функцией двух переменных a и b. Исключим одну из переменных. Поскольку, \(a^2+4ab=3\), то \(b=\frac{3-a^2}{4a}\).

Следовательно, \(V=a^2b\Rightarrow \frac{a^2(3-a^2)}{4a}=\frac{a(3-a^2)}{4}\).

Тогда \(V'=\frac{1}{4}((3-a^2)+(-2a)\cdot a)=\frac{1}{4}(3-3a^2)=\frac{3}{4}(1-a^2).\)

Решим уравнения V'=0, т.е.

\(\frac{3}{4}(1-a^2)=0\);
\(1-a^2=0, \frac{3}{4}\neq 0\);
\(a=-1, a=1\)\(\frac{3}{4}(1-a^2)=0\);
\(1-a^2=0, \frac{3}{4}\neq 0\);
\(a=-1, a=1\)



 Данные решения разбивают область определения функции на интервалы \(\left(-\propto ;-1 \right)\bigcup(-1;1)\bigcup(1;\propto)\).
Определим знаки в произвольных точках каждого из интервалов:
  •  на интервале \(\left(-\propto ;-1 \right)\) функция убывает,
  •  на интервале  (-1;1) возрастает,
  •  на интервале \(\left(1;\propto \right)\) возрастает.
 a=1 является точкой максимума.

Oпределим b: \(b=\frac{3-1^2}{4\cdot 1}=\frac{1}{2}\)

Ответ: максимальные размеры ящика должны быть \(1\times 1\times \frac{1}{2}\), если для его изготовления дано \(3м^2\) материала.


2012-12-26 • Просмотров [ 4727 ]