Задача. Знайти екстремуми функції $$f(x_1,x_2)=3x_1^{2}-8x_1x_2+13x_2{2}-x_1-2x_2=-3.$$ за умови,що змінні задовольняють рівнянню $$x_1-2x_2=-3$$
Розв'язання. Складаємо функцію Лагранжа:
$$L(x_1,x_2,\lambda)=3x_1^{2}-8x_1x_2+13x_2^{2}-x_1+17x_2+\lambda(x_1-2x_2+3).$$
Знаходимо похідні:
$$\frac{dL}{dx_1}=6x_1-8x_2-1+\lambda,\frac{dL}{dx_2}=8x_1+26x_2+17-2\lambda,\frac {dL}{d\lambda}=x_1-2x_2+3$$
і записуємо систему:
$$\begin{equation*}
\begin{cases}
6x_1-8x_2-1+\lambda=0,
\\
-8x_1+26x_2+17-2\lambda=0,
\\
x_1-2x_2=-3.
\end{cases}
\end{equation*}
$$
Система має один розв'язок:
$$x_1^{(1)}=-3,3,x_2^{(1)}=-0,15,\lambda^{(1)}=19,6.$$
який і визначає дві стаціонарні точки.
Знайдемо похідні другого порядку:
$$\frac{d^{2}L}{d\lambda^{2}}=0,\frac{d^{2}L}{d\lambda dx_1}=\frac{d^{2}L}{dx_1d\lambda}=1,\frac{d^{2}L}{d\lambda dx_2}=\frac{d^{2}L}{dx_2d\lambda}=-2,$$
$$\frac{d^{2}L}{dx_1^{2}}=6,\frac{d^{2}L}{dx_1dx_2}=\frac{d^{2}L}{dx_2dx_1}=-8,\frac{d^{2}L}{dx_2^{2}}=26.$$
Складаємо визначник матриці:
$$\Delta=-\begin{bmatrix}0 & 1 & 2\\1&6&-6\\-2&-8&26\end{bmatrix}=18>0,$$
а значить при $$x_1^{1}=-3,3,x_2^{1}=-0,15$$ функція $$f(x_1;x_2)=3x_1^{2}-8x_1x_2+13x_2^{2}-x_1+17x_2$$ має умовний мінімум: $$f_{min}=29$$
