Завдання

Два однакових вантажі підвішені до кінця пружини. Знайти рівняння руху, яке здійснюватиме один з цих вантажів, якщо інший відірветься.

Розв'язання:
Нехай збільшення довжини пружини під дією одного вантажу у стані спокою дорівнює \(a\) і маса вантажу \(m\). Позначимо через \(x\) координату вантажу, яка відраховується по вертикалі від положення рівноваги при наявності одного вантажу. Тоді: $$m\frac{d^2x}{dt^2}=mg-k(x+a),$$
де \(k=\frac{mg}{a}\), отже, $$\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{g}{a}x.$$
Загальний розв'язок цього рівняння: $$x=C_1 \cos \sqrt{\frac{g}{a}t}+C_2 \sin \sqrt{\frac{g}{a}t}.$$
Початкові умови дають $$x=a,\; \frac{dx}{dt}=0$$ при \(t=0\),
звідки \(С_1=a,\; C_2=0\), отже $$x=a \ cos \sqrt{\frac{g}{a}t}$$


2012-12-21 • Просмотров [ 809 ]