Задание 1. Свойства логарифма.
$$Если \log 43=a, то \log 169= ?$$
Решение. По свойству логарифма, 4a=3. Возведя обе части в квадрат, получим 42a=32. Значит 16a=9.
$$\ log169=a.$$
Задание 2. Логарифмические уравнения, модули.
$$Решите уравнение |3\lg x +1| – |\lg x – 3| = 2. Если у уравнения один корень, запишите его$$ в ответ, а если их больше – запишите СУММУ всех корней.
Решение. ОДЗ: x>0. Введём замену $$ \lg x = y. |3y+1|–|y–3| = 2$$
$$Рассмотрим промежутки: y \epsilon \left(-\infty;-\frac{1}{3} \right), y\epsilon \left(-\frac{1}{3};3 \right),y \epsilon \left(3;\infty \right)$$
$$а) y \epsilon \left(-\infty;-\frac{1}{3} \right): |3y+1|=–3y–1 |y–3| = 3–y $$
Уравнение принимает вид: $$–1-3y+y–3 = 2$$
$$2y=–6$$
$$y=–3$$
Тогда x=0,001
$$б) y\epsilon \left(-\frac{1}{3};3 \right): |3y+1|=3y+1 |y–3| = 3–y $$
Уравнение принимает вид: $$3y+1+y–3 = 2$$
$$4y=4$$
$$y=4$$
$$Тогда x=10$$
$$в) y \epsilon \left(3;\infty \right): |3y+1|=3y+1 |y–3| = y–3 $$
Уравнение принимает вид: $$3y+1–y+3 = 2$$
$$2y=–2$$
$$y=–1$$
Но это значение не входит в рассматриваемый промежуток.
Таким образом, корнями уравнения являются числа 10 и 0,001. Их сумма равна 10,001
Задача 3. Логарифмические неравенства.
$$Решите неравенство \log_{\frac{1}{5}}x>2$$
Решение. ОДЗ: x>0 Т.к. основание логарифма меньше единицы, то при потенцировании знак меняется на противоположный: $$\log_{\frac{1}{5}}x>2 \left(\frac{1}{5} \right)^{\log_{\frac{1}{5}}x}<\left(\frac{1}{5} \right)^{2} x<\frac{1}{25}$$
Учитывая ОДЗ, получим $$x \epsilon \left(0; \frac{1}{25}\right).$$
Задача 4. Логарифм.
$$Вычислите \log _{32}8-3^{\frac{2}{\log _{7}3}} $$Решение. $$\log _{32}8-3^{\frac{2}{\log _{7}3}}=\log _{2^{5}}2^{3}-3^{2\log _{3}7}=\frac{3}{5}-7^{2}=-48,4 $$
