Задание  1.   Свойства  логарифма.

$$Если  \log 43=a, то \log 169= ?$$

Решение.   По  свойству   логарифма,   4a=3.   Возведя  обе   части  в  квадрат,   получим   42a=32.   Значит  16a=9.

$$\ log169=a.$$


Задание 2. Логарифмические  уравнения,   модули.  

$$Решите   уравнение   |3\lg x +1| – |\lg x – 3| = 2.   Если   у   уравнения   один   корень,   запишите   его$$   в   ответ,   а   если   их   больше  –   запишите   СУММУ   всех   корней.  

Решение.  ОДЗ: x>0.   Введём   замену  $$ \lg x = y. |3y+1|–|y–3| = 2$$

$$Рассмотрим   промежутки:   y \epsilon \left(-\infty;-\frac{1}{3} \right), y\epsilon \left(-\frac{1}{3};3 \right),y \epsilon \left(3;\infty \right)$$

$$а)   y \epsilon \left(-\infty;-\frac{1}{3} \right): |3y+1|=–3y–1 |y–3| = 3–y $$

Уравнение  принимает  вид: $$–1-3y+y–3 = 2$$

$$2y=–6$$

$$y=–3$$

Тогда  x=0,001

$$б)   y\epsilon \left(-\frac{1}{3};3 \right): |3y+1|=3y+1 |y–3| = 3–y $$

Уравнение   принимает   вид: $$3y+1+y–3 = 2$$

$$4y=4$$

$$y=4$$  

$$Тогда  x=10$$

$$в)   y \epsilon \left(3;\infty \right): |3y+1|=3y+1 |y–3| = y–3 $$ 

Уравнение   принимает  вид: $$3y+1–y+3 = 2$$

$$2y=–2$$

$$y=–1$$

Но  это  значение   не  входит   в   рассматриваемый  промежуток. 

Таким  образом,   корнями   уравнения  являются  числа   10  и   0,001.   Их   сумма   равна   10,001


Задача 3. Логарифмические неравенства.

  $$Решите  неравенство  \log_{\frac{1}{5}}x>2$$ 

Решение.  ОДЗ:   x>0 Т.к.   основание  логарифма  меньше  единицы,   то   при   потенцировании   знак  меняется  на   противоположный:   $$\log_{\frac{1}{5}}x>2 \left(\frac{1}{5} \right)^{\log_{\frac{1}{5}}x}<\left(\frac{1}{5} \right)^{2} x<\frac{1}{25}$$

Учитывая   ОДЗ,   получим   $$x \epsilon \left(0; \frac{1}{25}\right).$$


Задача 4. Логарифм.

   $$Вычислите  \log _{32}8-3^{\frac{2}{\log _{7}3}} $$Решение.  $$\log _{32}8-3^{\frac{2}{\log _{7}3}}=\log _{2^{5}}2^{3}-3^{2\log _{3}7}=\frac{3}{5}-7^{2}=-48,4 $$


2015-03-15 • Просмотров [ 787 ]