АРИФМЕТИЧНІ ОПЕРАЦІЇ НАД ДИФЕРЕНЦІЙОВНИМИ ФУНКЦІЯМИ

Теорема 1. Якщо функції \(f_1(x)\) і \(f_2(x)\) в точці \(x_0\) мають похідні, то функція \(y=f_1(x)\pm f_2(x)\) в цій точці також має похідну, яка дорівнює

$$y'=(f_1(x)\pm f_2(x))'=f_1'(x)\pm f_2'(x).$$

Теорема 2. Якщо функції \(f_1(x)\) і \(f_2(x)\) в точці \(x_0\) мають похідні, то функція \(y=f_1(x)\cdot f_2(x)\) в цій точці також має похідну, яка дорівнює

$$y'=f_1(x)\cdot f_2'(x)+f_1'(x)\cdot f_2(x).$$

Наслідок. Якщо функція \(f(x)\) в точці \(x_0\) має похідну, то функція \(y=Cf(x)\) в цій точці також має похідну в цій точці, яка дорівнює \(y'=Cf'(x)\).

Теорема 3. Якщо функції \(f_1(x)\) і \(f_2(x)\) в точці \(x_0\) мають похідні й функція \(f_2(x)\neq 0\), то функція \(y=\frac{f_1(x)}{f_2(x)}\) в також має похідну в точці \(x\):

$$y'=\frac{f_1'(x)\cdot f_2(x)-f_1(x)\cdot f_2'(x)}{(f_2(x))^2}.$$

Нехай функція \(f\) ставить у відповідність числу \(x\) число \(y\), а функція \(g\) - числу \(y\) число \(z\). Тоді функцію \(h\), яка ставить у відповідність числу \(x\) число \(z\) називають складеною функцією.

Позначення: \(h(x)=g(f(x))\).

Зверніть увагу: область визначення функціі \(g(f(x))\) - це множина таких значень \(x\) з області визначення функції \(f\), для яких \(f(x)\) належить області функції \(g\).

Теорема 4. Якщо функція \(f\) має похідну в точці \(x_0\), а функція \(g\) має похідну в точці \(y_0=f(x_0)\), то складена функція \(h(x)=g(f(x))\) також має похідну в точці \(x_0\) , причому \(h'(x_0)=g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)\).

Нехай функція \(f\) має похідну \(f'\) в усіх точках проміжку \((a;b)\). Ця похідна, у свою чергу, є функцією від \(x\). Якщо функція \(f'\) диференційовна, то її похідну називають *другою подіхною} \(f\) і позначають \(f''\).

Отже, \(f''=(f')'\).

Таким же чином дають означення похідної n-го порядку \(f^{(n)}(x)\).

---