Задание  1.   Тригонометрические  уравнения.

 Найти  наименьший   положительный   корень   уравнения   $$2\sin x=-1 $$

 Решение. 

Приводим  уравнение  к  простейшему $$\sin x=-\frac{1}{2}. $$

Обобщённое  решение  этого  простейшего  тригонометрического  уравнения  имеет  вид:

$$ x=\left(-1 \right)^{k}\arcsin\left(-\frac{1}{2} \right)+\pi k, k\epsilon Z. $$$$\arcsin\left(-\frac{1}{2} \right)=\arcsin\left(\frac{1}{2} \right)=-\frac{\pi }{6},$$ 

$$значит x=\left(-1 \right)^{k}\left(-\frac{\pi }{6} \right)+\pi k,k\epsilon Z.$$

При k=0 корень  будет  отрицательным,   а  при k=1 – положительным:

$$ x=\frac{\pi }{6}+\pi =\frac{7\pi }{6} $$


Задание   2.   Наибольшее   и   наименьшее   значение   функции.

  Найдите   наименьшее   значение  функции  $$ y=x^{3}-12x  на   отрезке  \left[0;3 \right].$$

Решение.  Найдём   точки  экстремума,   приравняв  производную  к   нулю. $$y'=3x^{2}-12$$

y’=0  при  x=2   или   x=-2.  

Т.к.   рассматриваемому   промежутку  принадлежит   только   первое   значение,   нужно   сравнить

значения   функции  y  в   трёх   точках:  0, 2, 3.

$$y(0)=0$$$$y(2)=8-24=-16$$$$y(3)=27-24=-3.$$

Наименьшим  будет  $$y\left(2\right) =-16$$ 


Задание   3. Преобразования   графиков   функций.

Задан график   функции   $$y=\cos x\left(1-4 \right)$$ и четыре варианта его преобразования:

1.  График  функции  параллельно   перенесли   вдоль   оси  Ox   на  две   единицы  влево.

2.  График   функции   параллельно  перенесли  вдоль  оси  Oy   на   две   единицы  вниз.

3.  График   функции    сжали  к  оси   Ox  в  два  раза.

4.  График  функции   сжали   к   оси  Oy   в   два  раза.

Нужно ответить какой получим график в результате каждого преобразования. 

Решение. 

 Здесь  нужно  знать,   как  влияют  на  функцию   геометрические  преобразования  графика.  

 1.  Перенос   вдоль   оси   Ox   влево  эквивалентен   прибавлению  величины   сдвига   к   аргументу

функции.

Мы  получим   график    $$y=\cos \left(2+x \right). $$

2.  Перенос  вдоль   оси   Oy   вниз   эквивалентен   вычитанию   величины   сдвига  от   самой   функции.

Мы   получим  график   $$y=\cos x-2.$$

3.  Сжатие   к   оси  Ox – это  умножение   функции   на  коэффициент,   меньший  единицы.

Мы  получим   график  $$y=0,5\cos x.$$

4.  Сжатие  к   оси   Oy –   это   умножение   аргумента  функции   на  коэффициент,   больший   единицы.

Мы  получим   график   $$y=\cos \left(2x \right). $$ 


2015-03-15 • Просмотров [ 619 ]