Задание 1. Тригонометрические уравнения.
Найти наименьший положительный корень уравнения $$2\sin x=-1 $$
Решение.
Приводим уравнение к простейшему $$\sin x=-\frac{1}{2}. $$
Обобщённое решение этого простейшего тригонометрического уравнения имеет вид:
$$ x=\left(-1 \right)^{k}\arcsin\left(-\frac{1}{2} \right)+\pi k, k\epsilon Z. $$$$\arcsin\left(-\frac{1}{2} \right)=\arcsin\left(\frac{1}{2} \right)=-\frac{\pi }{6},$$
$$значит x=\left(-1 \right)^{k}\left(-\frac{\pi }{6} \right)+\pi k,k\epsilon Z.$$
При k=0 корень будет отрицательным, а при k=1 – положительным:
$$ x=\frac{\pi }{6}+\pi =\frac{7\pi }{6} $$
Задание 2. Наибольшее и наименьшее значение функции.
Найдите наименьшее значение функции $$ y=x^{3}-12x на отрезке \left[0;3 \right].$$
Решение. Найдём точки экстремума, приравняв производную к нулю. $$y'=3x^{2}-12$$
y’=0 при x=2 или x=-2.
Т.к. рассматриваемому промежутку принадлежит только первое значение, нужно сравнить
значения функции y в трёх точках: 0, 2, 3.
$$y(0)=0$$$$y(2)=8-24=-16$$$$y(3)=27-24=-3.$$
Наименьшим будет $$y\left(2\right) =-16$$
Задание 3. Преобразования графиков функций.
Задан график функции $$y=\cos x\left(1-4 \right)$$ и четыре варианта его преобразования:
1. График функции параллельно перенесли вдоль оси Ox на две единицы влево.
2. График функции параллельно перенесли вдоль оси Oy на две единицы вниз.
3. График функции сжали к оси Ox в два раза.
4. График функции сжали к оси Oy в два раза.
Нужно ответить какой получим график в результате каждого преобразования.
Решение.
Здесь нужно знать, как влияют на функцию геометрические преобразования графика.
1. Перенос вдоль оси Ox влево эквивалентен прибавлению величины сдвига к аргументу
функции.
Мы получим график $$y=\cos \left(2+x \right). $$
2. Перенос вдоль оси Oy вниз эквивалентен вычитанию величины сдвига от самой функции.
Мы получим график $$y=\cos x-2.$$
3. Сжатие к оси Ox – это умножение функции на коэффициент, меньший единицы.
Мы получим график $$y=0,5\cos x.$$
4. Сжатие к оси Oy – это умножение аргумента функции на коэффициент, больший единицы.
Мы получим график $$y=\cos \left(2x \right). $$
