Вычисление производной — важнейшая операция в дифференциальном исчислении. Эта статья содержит список формул для нахождения производных от некоторых функций. В этих формулах \(f\) и \(g\) — произвольные дифференцируемые функции вещественной переменной, а \(c\) — вещественная константа. Этих формул достаточно для дифференцирования любой элементарной функции.

Производные простых функций

\(\frac{d}{dx}\, c=0\)\(\;\;\;\)\(\frac{d}{dx}\, x=1\)
\(\frac{d}{dx}\, cx=c\)\(\;\;\;\)\(\frac{d}{dx}\, \left|x \right|=\frac{x}{\left|x \right|}=\text{sgn}\, x,\; x\neq 0\)
\(\frac{d}{dx}\, x^{c}=cx^{c-1},\) когда \(x^{c}\) и \(cx^{c-1}\) определены, \(c\neq 0\)\(\;\;\;\)\(\frac{d}{dx}\, \left( \frac{1}{x}\right)=\frac{d}{dx}\, \left(x^{-1} \right)=-x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}\)
\(\frac{d}{dx}\, \left( \frac{1}{x^{c}}\right)=\frac{d}{dx}\, \left(x^{-c} \right)=-\frac{c}{x^{c+1}}\)\(\;\;\;\)\(\frac{d}{dx}\, \sqrt{x}=\frac{d}{dx}\, x^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}},\; x>0\)

Производные экспоненциальных и логарифмических функций

\(\frac{d}{dx}\, c^{x}=c^{x}\ln c,\; c>0\)\(\;\;\;\)\(\frac{d}{dx}\, e^{x}=e^{x}\)
\(\frac{d}{dx}\, e^{f(x)}=f'(x)e^{f(x)}\)\(\;\;\;\)\(\frac{d}{dx}\, \ln x=\frac{1}{x}\)
\(\frac{d}{dx}\, \ln f(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}\)\(\;\;\;\)\(\frac{d}{dx}\, \log _{a}f(x)=\frac{d}{dx}\, \frac{\ln f(x)}{\ln (a)}=\frac{f'(x)}{f(x)\ln (a)}\)

Производные тригонометрических и обратных тригонометрических функций

\(\frac{d}{dx}\, \sin x=\cos x\)\(\;\;\;\)\(\frac{d}{dx}\, \cos x=-\sin x\)
\(\frac{d}{dx}\, \tan x=\sec ^{2}x=\frac{1}{\cos ^{2}x}=\tan ^{2}x+1\)\(\;\;\;\)\(\frac{d}{dx}\, \cot x=-\csc ^{2}x=\frac{-1}{\sin ^{2}x}\)
\(\frac{d}{dx}\, \sec x=\tan x\sec x\)\(\;\;\;\)\(\frac{d}{dx}\, \csc x=-\cot x\csc x\)
\(\frac{d}{dx}\, \arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)\(\;\;\;\)\(\frac{d}{dx}\, \arccos x=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
\(\frac{d}{dx}\, \arctan x=\frac{1}{1+x^{2}}\)\(\;\;\;\)\(\frac{d}{dx}\, \text{arccot}\, x=\frac{-1}{1+x^{2}}\)
\(\frac{d}{dx}\, \text{arcsec}\, x=\frac{1}{\left|x \right|\sqrt{x^{2}-1}}\)\(\;\;\;\)\(\frac{d}{dx}\, \text{arccsc}\, x=\frac{-1}{\left|x \right|\sqrt{x^{2}-1}}\)

Производные гиперболических функций

\(\frac{d}{dx}\, \sinh x=\cosh x\)\(\;\;\;\)\(\frac{d}{dx}\, \cosh x=\sinh x\)
\(\frac{d}{dx}\, \tanh x=\text{sech} ^{2}x\)\(\;\;\;\)\(\frac{d}{dx}\, \text{sech}\, x=-\tan x\, \text{sech}\, x\)
\(\frac{d}{dx}\, \coth x=-\text{csch}^{2}x\)\(\;\;\;\)\(\frac{d}{dx}\, \text{csch}\, x=-\coth x\, \text{csch}\, x\)

Правила дифференцирования общих функций

\(\left(cf \right)'=cf'\)\(\;\;\;\)\(\left(f+g \right)'=f'+g'\)
\(\left(f-g \right)'=f'-g'\)\(\;\;\;\)\(\left(fg \right)'=f'g+fg'\)
\(\left(\frac{f}{g} \right)'=\frac{f'g-fg'}{g^{2}},\; g\neq 0\)\(\;\;\;\)\(\left(f^{g} \right)'=\left(e^{g\ln f} \right)'=f^{g}\left(f'\frac{g}{f}+g'\ln f \right),\; f>0\)
\(\left(f\left(g(x) \right) \right)'=f'\left(g(x) \right)\cdot g'(x)\)\(\;\;\;\)\(\left(f^{c} \right)'=c\left(f^{c-1} \right)f'\)


2010-10-19 • Просмотров [ 2126 ]