Формулы алгебры логики
Порядок выполнения операций указывается скобками. Например из трех высказываний \(x, y, z\) можно построить высказывание:
\(( x \wedge y) \vee \bar{z}\) и \(x\rightarrow\)\(\overline{(y \vee (x \wedge z ))}\).
Первое из них есть дизъюнкция конъюнкции \(x, y\) и отрицание высказывания \(z\), а второе высказывание есть импликация, посылкой которой является высказывание \(x\), а заключением - отрицание дизъюнкции высказывания \(y\) и конъюнкции высказываний \(x, z\). Тем, кто изучает английский, понять эти термины будет проще, поскольку более менее понятен перевод этих слов. Очень часто эти значки используют в решебниках с готовыми домашними заданиями, чтобы сократить запись ответа. Как пример смотрите гдз по алгебре 7 класс. Подробности тут: euroki.net.
Всякое сложное высказывание, которое может быть получено из элементарных высказываний посредством применения логических операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции, называется формулой алгебры логики.
Формулы алгебры логики обозначаются большими буквами латинского алфавита \(A, B, C,\) ...
Для упрощения записи формул принят ряд соглашений. Скобки можно опускать, придерживаясь следующего порядка действий: конъюнкция выполняется раньше, чем все остальные операции, дизъюнкция выполняется раньше, чем импликация и эквивалентность. Если над формулой стоит знак отрицания, то скобки тоже опускаются. В связи с этим формулы:
\(( x \wedge y) \vee \bar{z}\) и \(x\rightarrow\)\(\overline{(y \vee (x \wedge z ))}\)
может быть записана так:
\(x \wedge y \vee \bar{z}\) и \(x \rightarrow\)\(\overline{y \vee (x \wedge z }\) .
Логическое значение формулы алгебры логики полностью определяется логическими значениями входящих в нее элементарных высказываний. Например, логическим значением формулы \(\overline{x \wedge y}\) \(\vee \bar{z}\) в случае, если \(x=1, y=1, z=0\) будет истина, то \(\overline{x \wedge y}\) \(\vee \bar{z}\)\(=1\).
Например, для формулы \(\bar{x} \vee y \rightarrow x \wedge \bar{y}\) таблица истинности имеет вид:
| х | у | \(\bar{x}\) | \(\bar{y}\) | \(\bar{x} \vee y\) | \(x \wedge \bar{y}\) | \(\bar{x} \vee y \rightarrow x \wedge \bar{y}\) |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
Легко видеть, что, если формула содержит \(n\) элементарных высказываний, то она принимает \(2^{n}\) значений, состоящих из нулей и единиц, или, что то же, таблица содержит \(2^{n}\) строк.
Пример 1. Пусть \(\alpha\) - высказывание "Студент Иванов изучает английский язык"; b - высказывание "Студент Иванов успевает по математической логике". Дать словесную формулировку высказываний:
1) \(\alpha \wedge \bar{b}\); 2) \(\alpha \rightarrow b\); 3) \(\bar{b} \leftrightarrow \bar{\alpha }\)
Решение. 1) "Студент Иванов изучает английский язык и не успевает по математической логике". 2) "Если студент Иванов изучает английский язык, то он успевает по математической логике". 3) "Студент Иванов не успевает по математической логике тогда и только тогда, когда он не изучает английский язык".
Пример 2. Составить таблицу истинности для высказывания \(\alpha \vee \bar{b}\).
Решение. Таблица истинности для высказывания \(\alpha \vee \bar{b}\) имеет вид:
| \(\alpha\) | \(b\) | \(\bar{b}\) | \(\alpha \vee \bar{b}\) |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
2012-11-01 • Просмотров [ 4700 ]
