Формулы алгебры логики

    Порядок выполнения операций указывается скобками. Например из трех высказываний \(x, y, z\) можно построить высказывание:
\(( x \wedge y) \vee \bar{z}\) и \(x\rightarrow\)\(\overline{(y \vee (x \wedge z ))}\).

   Первое из них есть дизъюнкция конъюнкции \(x, y\) и отрицание высказывания \(z\), а второе высказывание есть импликация, посылкой которой является высказывание \(x\), а заключением - отрицание дизъюнкции высказывания \(y\) и конъюнкции высказываний \(x, z\). Тем, кто изучает английский, понять эти термины будет проще, поскольку более менее понятен перевод этих слов. Очень часто эти значки используют в решебниках с готовыми домашними заданиями, чтобы сократить запись ответа. Как пример смотрите гдз по алгебре 7 класс. Подробности тут: euroki.net.
    Всякое сложное высказывание, которое может быть получено из элементарных высказываний посредством применения логических операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции, называется формулой алгебры логики.
    Формулы алгебры логики обозначаются большими буквами латинского алфавита \(A, B, C,\) ...
    Для упрощения записи формул принят ряд соглашений. Скобки можно опускать, придерживаясь следующего порядка действий: конъюнкция выполняется раньше, чем все остальные операции, дизъюнкция выполняется раньше, чем импликация и эквивалентность. Если над формулой стоит знак отрицания, то скобки тоже опускаются. В связи с этим формулы:

\(( x \wedge y) \vee \bar{z}\) и \(x\rightarrow\)\(\overline{(y \vee (x \wedge z ))}\)

может быть записана так:
\(x \wedge y \vee \bar{z}\) и \(x \rightarrow\)\(\overline{y \vee (x \wedge z }\) .

   Логическое значение формулы алгебры логики полностью определяется логическими значениями входящих в нее элементарных высказываний. Например, логическим значением формулы \(\overline{x \wedge y}\) \(\vee \bar{z}\) в случае, если \(x=1, y=1, z=0\) будет истина, то \(\overline{x \wedge y}\) \(\vee \bar{z}\)\(=1\).
    Например, для формулы \(\bar{x} \vee y \rightarrow x \wedge \bar{y}\) таблица истинности имеет вид:

х у \(\bar{x}\)\(\bar{y}\) \(\bar{x} \vee y\) \(x \wedge \bar{y}\) \(\bar{x} \vee y \rightarrow x \wedge \bar{y}\)
1 1 00
1
0
0
1 0 01
0
1
1
0 1 10
1
0
0
0 0 11
1
0
0

    Легко видеть, что, если формула содержит \(n\) элементарных высказываний, то она принимает \(2^{n}\) значений, состоящих из нулей и единиц, или, что то же, таблица содержит \(2^{n}\) строк.
    Пример 1. Пусть \(\alpha\) - высказывание "Студент Иванов изучает английский язык"; b - высказывание "Студент Иванов успевает по математической логике". Дать словесную формулировку высказываний:

1) \(\alpha \wedge \bar{b}\); 2) \(\alpha \rightarrow b\); 3) \(\bar{b} \leftrightarrow \bar{\alpha }\)

    Решение. 1) "Студент Иванов изучает английский язык и не успевает по математической логике". 2) "Если студент Иванов изучает английский язык, то он успевает по математической логике". 3) "Студент Иванов не успевает по математической логике тогда и только тогда, когда он не изучает английский язык".
    Пример 2. Составить таблицу истинности для высказывания \(\alpha \vee \bar{b}\).
    Решение. Таблица истинности для высказывания \(\alpha \vee \bar{b}\) имеет вид:
\(\alpha\) \(b\)\(\bar{b}\) \(\alpha \vee \bar{b}\)
1 10
1
1 01
1
0 10
0
0 01
1


2012-11-01 • Просмотров [ 2637 ]