Математическое ожидание, мода, медиана

    Среди числовых характеристик случайных величин нужно прежде всего отметить те, которые характеризуют положение случайной величины на числовой оси, т. е. указывают некоторое среднее, ориентировочное значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины.
    Среднее значение случайной величины есть некоторое число, являющееся как бы ее «представителем» и заменяющее ее при грубо ориентировочных расчетах. Когда мы говорим: «среднее время работы лампы равно \(100\) часам» или «средняя точка попадания смещена относительно цели на \(2\) м вправо», мы этим указываем определенную числовую характеристику случайной величины, описывающую ее местоположение на числовой оси, т. е. «характеристику положения».
    Из характеристик положения в теории вероятностей важнейшую роль играет математическое ожидание случайной величины, которое иногда называют просто средним значением случайной величины.
    Рассмотрим дискретную случайную величину \(X\), имеющую возможные значения \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\) с вероятностями \(p_{1}, p_{2}, ..., p_{n}\). Нам требуется охарактеризовать каким-то числом положение значений случайной величины на оси абсцисс с учетом того, что эти значения имеют различные вероятности. Для этой цели естественно воспользоваться так называемым «средним взвешенным» из значений \(x_{i}\), причем каждое значение \(x_{i}\) при осреднении должно учитываться с «весом», пропорциональным вероятности этого значения. Таким образом, мы вычислим среднее значение случайной величины \(X\), которое мы обозначим \(М[Х]\):

$$M[X]=\frac{x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+...+x_{n}p_{n}}{p_{1}+p_{2}+...+p_{n}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x_{i}p_{i}}}{\sum_{i=1}^{n}{p_{i}}},$$ или учитывая, что \(\sum_{i=1}^{n}{x_{i}p_{i}}=1\), \(x_{1}\)     Это среднее взвешенное значение и называется математическим ожиданием случайной величины. Таким образом, мы ввели в рассмотрение одно из важнейших понятий теории вероятностей — понятие математического ожидания.
    Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений.
    Заметим, что в вышеприведенной формулировке определение математического ожидания справедливо, строго говоря, только для дискретных случайных величин; ниже будет дано обобщение этого понятия на случай непрерывных величин.
    Для того чтобы сделать понятие математического ожидания более наглядным, обратимся к механической интерпретации распределения дискретной случайной величины. Пусть на оси абсцисс расположены точки с абсциссами \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\), в которых сосредоточены соответственно массы \(p_{1}, p_{2}, ..., p_{n}\), причем \(\sum_{i=1}^{n}{x_{i}p_{i}}=1\). Тогда, очевидно, математическое ожидание \(M[X]\), есть не что иное, как абсцисса, центра тяжести данной системы материальных точек.
     Математическое ожидание случайной величины \(X\) связано своеобразной зависимостью со средним арифметическим наблюденных значений случайной величины при большом числе опытов. Эта зависимость того же типа, как зависимость между частотой и вероятностью, а именно: при большом числе опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины приближается (сходится по вероятности) к ее математическому ожиданию. Из наличия связи между частотой и вероятностью можно вывести как следствие наличие подобной же связи между средним арифметическим и математическим ожиданием.
    Действительно, рассмотрим дискретную случайную величину \(X\), характеризуемую рядом распределения:

\(x_{i}\)	\(x_{1}\)	\(x_{2}\)	\(...\)	\(x_{n}\)
\(p_{i}\)	\(p_{1}\)	\(p_{2}\)	\(...\)	\(p_{n}\)

где \(p_{i}=P(X=x_{i}).\)
    Пусть производится \(N\) независимых опытов, в каждом из которых величина \(X\) принимает определенное значение. Предположим, что значение \(x_{1}\) появилось \(m_{1}\) раз, значение \(x_{2}\)появилось \(m_{2}\) раз, вообще значение \(x_{i}\) появилось \(m_{1}\) раз. Очевидно, $$\sum_{i=1}^{n}{m_{i}}=N$$     Вычислим среднее арифметическое наблюденных значений величины \(X\), которое в отличие от математического ожидания \(M[X]\) мы обозначим \(M*[X]\): $$M^*[X]=\frac{x_{1}m_{1}+x_{2}m_{2}+...+x_{n}m_{n}}{N}=x_{1}\frac{m_{1}}{N}+x_{2}\frac{m_{2}}{N}+...+x_{n}\frac{m_{n}}{N}=\sum_{i=1}^{n}{x_{i}\frac{m_{i}}{N}}$$     Но \(\frac{m_{i}}{N}\) есть не что иное, как частота (или статистическая вероятность) события \(X=x_{i}\); эту частоту можно обозначить \(p_{i}^*\). Тогда $$M^*[X]=\sum_{i=1}^{n}{x_{i}p_{i}^*}$$ т. е. среднее арифметические наблюденных значений случайной величины равно сумме произведений всех возможных значений случайной величины на частоты этих значений.
    При увеличении числа опытов \(N\) частоты \(p_{i}^*\) будут приближаться (сходиться по вероятности) к соответствующим вероятностям \(p_{i}\). Следовательно, и среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины \(M^*[X]\) при увеличении числа опытов будет приближаться (сходиться по вероятности) к ее математическому ожиданию \(M[X]\). Продолжение здесь

---