Задачи с использованием числовых характеристик случайной величины

    Пример 1. Производится один опыт, в результате которого может появиться или не появиться событие \(A\), вероятность которого равна \(p\). Рассматривается случайная величина \(X\) — число появлений события \(A\) (характеристическая случайная величина события \(A\)). Определить ее характеристики: математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
    Решение. Ряд распределения величины имеет вид:

\(x_{i}\)	\(0\)	\(1\)
\(p_{i}\)	\(q\)	\(p\)

где \(q=1-p\) — вероятность непоявления события \(A\).
    Находим математическое ожидание величины \(X\): $$m_{x}=M[X]=0\cdot q+1\cdot p=p$$ Дисперсию величины \(X\) определим: $$d_{x}=D[X]=(0-p)^{2}\cdot q+(1-p)^{2}\cdot p=pq$$ откуда $$\sigma _{x}=\sqrt{pq}$$

    Пример 2. Производится три независимых выстрела по мишенн, вероятность попадания при каждом выстреле равна \(0,4\). Случайная величина \(X\) — число попаданий. Определить характеристики величины \(X\) — математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, асимметрию.
    Решение. Ряд распределения величины \(X\) имеет вид: Вычисляем числовые характеристики величины \(X\):

$$m_{x}=0\cdot 0,216+1 \cdot 0,432+2\cdot0,288+3\cdot0,064=1,2;$$ $$D_{x}=(0-1,2)^{2}\cdot 0,216+(1-1,2)^{2}\cdot 0,432+(2-1,2)^{2}\cdot 0,288+(3-1,2)^{2}\cdot 0,064=0,72;$$ $$\sigma _{x}=\sqrt{0,72}=0,848;$$ $$\mu _{3}=(0-1,2)^{3}\cdot 0,216+(1-1,2)^{3}\cdot 0,432+(2-1,2)^{3}\cdot 0,288+(3-1,2)^{3}\cdot 0,064=0,144;$$ $$Sk=\frac{\mu _{3}}{\sigma _{x}^{3}}=\frac{0,144}{0,72\cdot 0,848}=0,236.$$

---