Законы распределения отдельных величин, входящие в систему

    Зная закон распределения двух случайных величин можно всегда определить законы распределения отдельных величин, входящих в систему. Функция распределения отдельных величин, входящих в систему, через функцию распределения системы, имеет вид:

$$F_{1}(x)=F(x, \infty)$$
$$F_{2}(y)=F(y, \infty)$$
    Выразим теперь плотность распределения каждой из величин, входящих в систему, через плотность распределения системы. Выражаем функцию распределения через плотность распределения через плотность распределения:
$$F_{1}(x)=F(x, \infty)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{\infty}{f(x, y)dxdy}$$
откуда, дифференцируя по \(x\), получим выражение для плотности распределения величины \(X\):
$$f_{1}(x)=\acute{F_{1}(x)}=\int_{-\infty}^{\infty}{f(x, y)dy}$$
    Аналогично
$$f_{2}(y)=\acute{F_{2}(y)}=\int_{-\infty}^{\infty}{f(x, y)dy}$$
    Таким образом, для того чтобы получить плотность распределения одной из величин, входящих в систему, нужно плотность распределения системы проинтегрировать в бесконечных пределах по аргументу, соответствующему другой случайной величине.
    Формулы дают возможность, зная закон распределения системы (заданный в виде функции распределения или плотности распределения), найти законы распределения отдельных величин, входящих в систему. Естественно, возникает вопрос об обратной задаче: нельзя ли по законам распределения отдельных величин, входящих в систему, восстановить закон распределения системы? Оказывается, что в общем случае этого сделать нельзя: зная только законы распределения отдельных величин, входящих в систему, не всегда можно найти закон распределения системы. Дли того чтобы исчерпывающим образом охарактеризовать систему, недостаточно знать распределение каждой из величин, входящих в систему; нужно еще знать зависимость между величинами, входящими в систему. Эта зависимость может быть охарактеризована с помощью так называемых условных законов распределения.
    Условным законом распределения величины \(X\), входящей в систему \((X, Y)\), называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина \(Y\) приняла определенное значение \(у\).
    Условный закон распределения можно задавать как функцией распределения, так и плотностью. Условная функция распределения обозначается \(F(x\mid y)\), условная плотность распределения \(f(x\mid y)\). Так как системы непрерывных величин имеют основное практическое значение, мы в данном курсе ограничимся рассмотрением условных законов, заданных плотностью распределения.
    Чтобы нагляднее пояснить понятие условного закона распределения, рассмотрим пример. Система случайных величин \(L\) и \(Q\) представляет собой длину и вес осколка снаряда. Пусть нас интересует длина осколка \(L\) безотносительно к его весу; это есть случайная величина, подчиненная закону распределения с плотностью \(f_{1}(l)\).
    Этот закон распределения мы можем исследовать, рассматривая все без исключения осколки и оценивая их только по длине; \(f_{1}(l)\) есть безусловный закон распределения длины осколка. Однако нас может интересовать и закон распределения длины осколка вполне определенного веса, например \(10 \)г. Для того чтобы его определить, мы будем исследовать не все осколки, а только определенную весовую группу, в которой вес приблизительно равен \(10 \)г, и получим условный закон распределения длины осколка при весе \(10\) г с плотностью \(f(l\mid q)\) при \(q=10\). Этот условный закон распределения вообще отличается от безусловного \(f_{1}(l)\); очевидно, более тяжелые осколки должны в среднем обладать и большей длиной; следовательно, условный закон распределения длины осколка существенно зависит от веса \(q\).
    Зная закон распределения одной из величин, входящих в систему, и условный закон распределения второй, можно составить закон распределения системы. Выведем формулу, выражающую это соотношение, для непрерывных случайных величин. Для этого воспользуемся понятием об элементе вероятности. Рассмотрим прилежащий к точке \((x, y)\) элементарный прямоугольник \(R_{d}\) со сторонами \(dx\), \(dy\) (рис. 1).
    Вероятность попадания в этот прямоугольник— элемент вероятности \(f(x, у) dx dy\) — равна вероятности одновременного попадания случайной точки \((X, Y)\) в элементарную полосу \(I\), опирающуюся на отрезок \(dx\), и в полосу \(II\), опирающуюся на отрезок \(dy\):
$$f(x, y)dxdy=P((X, Y)\subset R_{d})=P((x < X < x+dx)(y < Y < y +dy))$$
    Вероятность произведения этих двух событий, по теореме умножения вероятностей, равна вероятности попадания в элементарную полосу \(I\), умноженной на условную вероятность попадания в элементарную полосу \(II\), вычисленную при условии, что первое событие имело место. Это условие в пределе равносильно условию \(Х = х\); следовательно,
$$f(x, y)dxdy=f_{1}(x)dxf(y\mid x) dy$$
откуда
$$f(x, y)=f_{1}(x)dxf(y\mid x) $$
    т. е. плотность распределения системы двух величин равна плотности распределения одной из величин, входящих в систему, умноженной на условную плотность распределения другой величины, вычисленную при условии, что первая величина приняла заданное значение.
    Формулу часто называют теоремой умножения законов распределения. Эта теорема в схеме случайных величины аналогична теореме умножения вероятностей в схеме событий.
    Очевидно, формуле можно придать другой вид, если задать значение не величины \(X\), а величины \(Y\):
$$f(x, y)=f_{2}(y)dxf(x\mid y) $$


2012-12-20 • Просмотров [ 2031 ]