Задача
Дана функція
$$ f(x) = 0,2*x^4-15ln(x)+5. $$
Методом Фібоначчі обчислити з точністю
$$ e = 0,05 $$
точку х* мінімуму функції f(х) і f(х*).
Розв’язання.
Знайдемо число кроків n з умови
$$ F_{(n+2)}>(b-a)/e=1/0,05=20.$$
Оскільки
$$ F_1=F_2=1, F_3=2 ,F_4=3 ,F_5=5 ,F_6=8 ,F_7=13 ,F_8=21,…,$$
то найменшим з чисел Фібоначчі, яке перевищує число 20 є число
$$F_8=21.$$
При цьому n+2=8, а n+6.
Крок 1. Покладаємо
$$ a_1=1,5,$$
$$ b_1=2,5,$$
$$ k=1 $$
і за формулами при n=6 обчислюємо
$$c_1=a_1+F_6/F_8 =1,5+8/21=1,881, $$
$$d_1=a_1+b_1-c_1=1,5+2,5-1,881=2,119.$$
Обчислюємо
$$f(c_1) і f(d_1):$$
$$f(c_1 )=f(1,881)=0,2*(1,881)^4-15 ln(1,881)+5=-1,9734,$$
$$f(d_1 )=f(2,119)=0,2*(2,119)^4-15 ln(2,119)+5=-2,2319.$$
Порівнюємо
$$f(c_1) і f(d_1):$$
$$ f(c_1 )>f(d_1).$$
Наступний відрізок локалізації [1,881;2,5].
Крок 2. Покладаємо
$$a_2=c_1=1,881,$$
$$ b_2=b_1=2,5, $$
$$ c_2=d_1=2,119, $$
$$f(c_2 )=f(d_1 )=-2,2319.$$
Обчислюємо
$$d_2=a_2+b_2-c_2=1,881+2,5-2,119=2,262,$$
$$f(d_2 )=f(2,262)=0,2*(2,262)^4-15 ln(2,262)+5=-2,0077.$$
Порівнюємо
$$f(c_2) і f(d_2):$$
$$ f(c_2 )<f(d_2).$$
Переходимо до відрізку [1,881;2,262].
Крок 3. Покладаємо
$$a_3=a_2=1,881, $$
$$b_3=d_2=2,262,$$
$$ d_3=c_2=2,119,$$
$$ f(d_3 )=f(c_2 )=-2,2319.$$
Обчислюємо
$$c_3=a_3+b_3-d_3=1,881+2,262-2,119=2,024,$$
$$f(c_3 )=f(2,024)=0,2*(2,024)^4-15 ln(2,024)+5=-2,2197.$$
Порівнюємо
$$f(c_3) і f(d_3):$$
$$ f(c_3 )>f(d_3).$$
Переходимо до відрізку [2,024;2,262].
Крок 4. Покладаємо
$$a_4=c_3=2,024,$$
$$ b_4=b_3=2,262, $$
$$ c_4=d_3=2,119,$$
$$ f(c_4 )=f(d_3 )=-2,2319.$$
Обчислюємо
$$d_4=a_4+b_4-c_4=2,024+2,262-2,119=2,167,$$
$$f(d_4 )=f(2,167)=0,2*(2,167)^4-15 ln(2,167)+5=-2,19.$$
Порівнюємо
$$ f(c_4) і f(d_4): $$
$$f(c_4 )<f(d_4). $$
Переходимо до відрізку [2,024;2,167].
Крок 5. Покладаємо
$$a_5=a_4=2,024,$$
$$ b_5=d_4=2,167, $$
$$ d_5=c_4=2,119, $$
$$f(d_5 )=f(c_4 )=-2,2319.$$
Обчислюємо
$$c_5=a_5+b_5-d_5=2,024+2,167-2,119=2,072,$$
$$f(c_5 )=f(2,072)=0,2*(2,072)^4-15 ln(2,072)+5=-2,2414.$$
Порівнюємо
$$ f(c_5) і f(d_5):$$
$$ f(c_5 )<f(d_5). $$
Переходимо до відрізку [1,881;2,262].
Крок 6. Покладаємо
$$a_6=a_5=2,024,$$
$$ b_6=d_5=2,119,$$
$$ d_6=c_5=2,072,$$
$$ f(d_6 )=f(c_5 )=-2,2414.$$
Обчислюємо
$$c_6=a_6+b_6-d_6=2,024+2,119-2,072=2,071,$$
$$f(c_6 )=f(2,071)=0,2*(2,071)^4-15 ln(2,071)+5=-2,2413.$$
Оскільки цей крок останні, то перевіряємо умову
$$ c_n=d_n: c_6\ne d_6.$$
Перевіряємо умову
$$d_6-c_6<e: 2,072-2,071=0,001<e.$$
Приймаємо
$$x^*=(c_n+d_n)/2=(2,071+2,072)/2=2,0715,$$
і обчислюємо
$$f_{min}=f(2,0715)=0,2*(2,0715)^4-15 ln(2,0715)+5=-2,2412.$$
Відповідь
Отже
$$x^*=2,0715,а f_{min}=-2,2412. $$
