Задача

Методом Фібоначчі, використовуючи тільки калькулятор, обчислити з точністю e=0,05 точку х* мінімуму функції

$$f(x)=1,8x-6,7 sin(0,5*x)+6$$

і f(x*) на проміжку [a;b]=[1;3].

Розв’язання.

Число п кроків знайдемо з умови:

$$F_(n+2)>(b-a)/e=(3-1)/0,05=2/0,05=40.$$

Оскільки,

$$ F_1=F_2=1, F_3=2, F_4=3, F_5=5, F_6=8, F_7=13, F_8=21, F_9=34, F_10=55… ,$$

то найменшим з чисел Фібоначчі, яке перевищує число 40 є число

$$ F_{10}=55. $$

При цьому

$$ n+ 2 = 10, а n = 8. $$

Крок 1. Покладаємо

$$a_1=1,$$

\( b_1=3\) і за формулами при п = 8 обчислюємо:

$$c_1=a_1+F_8/F_{10} *(b_1-a_1 )=1+0,382*2=1,+0,764=1,764,$$

$$d_1=a_1+b_1-c_1=1+3-1,764=2,236.$$

Обчислюємо:

$$f(c_1 )=f(1,764)=1,8*1,764-6,7 sin(0,5*1,764)+6=3,1752--5,1724+$$$$+6=4,0028,$$

$$f(d_1 )=f(2,236)=1,8*2,236-6,7 sin(0,5*2,236)+6=4,0248--6,0233+$$$$+6=4,0015.$$

Порівнюємо

$$f(c_1)$$

і

$$f(d_1): $$

$$f(c_1 )>f(d_1)$$

Наступний відрізок локалізації [1,764;3].

Крок 2. Покладаємо

$$a_2=c_1=1,764,$$

$$ b_2=b_1=3,$$

$$ c_2=d_1=2,236,$$

$$f(c_2 )=f(d_1 )=4,0015.$$

Обчислюємо:

$$d_2=a_2+b_2-c_2=1,764+3-2,236=2,528,$$

$$f(d_2 )=f(2,528)=1,8*2,528-6,7 sin(0,5*2,528)+6=4,5504-6,387+$$$$+6=4,1634.$$

Порівнюємо

$$ f(c_2) і f(d_2): $$

$$f(c_2 )<f(d_2)$$

Наступний відрізок локалізації [1,764;2,528].

Крок 3. Покладаємо

$$a_3=a_2=1,764,$$

$$ b_3=b_2=2,528, $$

$$d_3=c_2= =2,236,$$

$$ f(d_3 )=f(c_2 )=4,0015.$$

Обчислюємо:

$$c_3=a_3+b_3-d_3=1,764+2,528-2,236=2,056,$$

$$f(c_3 )=f(2,056)=1,8*2,056-6,7 sin(0,5*2,056)+6=3,7008--5,7352+$$$$+6=3,9656.$$

Порівнюємо

$$f(c_3)$$

і

$$f(d_3): $$

$$f(c_3 )<f(d_3)$$

Наступний відрізок локалізації [1,764;2,236].

Крок 4. Покладаємо

$$a_4=a_3=1,764,$$

$$ b_4=d_3=2,236,$$

$$ d_4=c_3= =2,056, $$

$$f(d_4 )=f(c_3 )=3,9656.$$

Обчислюємо:

$$c_4=a_4+b_4-c_4=1,764+2,236-2,056=1,944,$$

$$f(c_4 )=f(1,944)=1,8*1,944-6,7 sin(0,5*1,944)+6=3,4992--5,5342+$$$$+6=3,965.$$

Порівнюємо

$$ f(c_4)$$

і

$$f(d_4): $$

$$f(c_4 )<f(d_4)$$

Наступний відрізок локалізації [1,764;2,056].

Крок 5. Покладаємо

$$ a_5=a_4=1,764,$$

$$ b_5=d_4=2,056, $$

$$d_5=c_4= =1,944,$$

$$ f(d_5 )=f(c_4 )=3,965.$$

Обчислюємо:

$$c_5=a_5+b_5-c_5=1,764+2,056-1,944=1,876,$$

$$f(c_5 )=f(1,876)=1,8*1,876-6,7 sin(0,5*1,876)+6=3,3768-5,403+$$$$+6=3,9738.$$

Порівнюємо

$$ f(c_5) іf(d_5): $$

$$f(c_5 )>f(d_5)$$

Наступний відрізок локалізації [1,876;2,056].

Крок 6. Покладаємо

$$ a_6=c_5=1,876,$$

$$ b_6=b_5=2,056, $$

$$c_6=d_5=1,944, $$

$$f(c_6 )=f(c_5 )=3,9738.$$

Обчислюємо:

$$d_6=a_6+b_6-c_6=1,876+2,056-1,944=1,988,$$

$$f(d_6 )=f(1,988)=1,8*1,988-6,7 sin(0,5*1,988)+6=3,5784--5,6146+$$$$+6=3,9638.$$

Порівнюємо

$$f(c_6)$$

і

$$f(d_6): $$

$$f(c_6 )>f(d_6)$$

Наступний відрізок локалізації [1,944;2,056].

Крок 7. Покладаємо

$$ a_7=c_6=1,944,$$

$$ b_7=b_6=2,056,$$

$$ c_7=d_6=1,988,$$

$$ f(c_7 )=f(c_6 )=3,9738.$$

Обчислюємо:

$$d_7=a_7+b_7-c_7=1,944+2,056-1,988=2,012,$$

$$f(d_7 )=f(2,012)=1,8*2,012-6,7 sin(0,5*2,012)+6=3,6216-5,659+$$$$+6=3,9626.$$

Порівнюємо

$$f(c_7)$$

і

$$f(d_7): $$

$$f(c_7 )>f(d_7)$$

Наступний відрізок локалізації [1,988;2,056].

Крок 8. Покладаємо

$$a_8=c_7=1,988,$$

$$ b_8=b_7=2,056, $$

$$c_8=d_7=2,012,$$

$$ f(c_8 )=f(c_7 )=3,9738.$$

Обчислюємо: \(d_8=a_8+b_8-c_8=1,988+2,056-2,012=2,032,\)

$$f(d_8 )=f(2,032)=1,8*2,032-6,7 sin(0,5*2,032)+6=3,6576-5,695+$$$$+6=3,9626.$$

Порівнюємо

$$ f(c_8) $$

і

$$f(d_8): $$

$$f(c_8 )>f(d_8)$$

Перевіряємо умову

$$d_8-c_8<e:2,032-2,012=0,02<0,05.$$

Обчислюємо:

$$x*=(c_8+d_8)/2=(2,012+2,032)/2=4,044/2=2,022$$

$$f_{min}=f(2,022)=1,8*2,022-6,7 sin(0,5*2,022)+6=3,6396-5,6749+$$$$+6=3,9647.$$

Відповідь

Отже,

$$x^*=2,022,$$

$$ f_{min}=3,9647. $$


2016-06-05 • Просмотров [ 40 ]