Задача

Знайти екстремуми функції

$$f(x_1;x_2)=3x_1^{2}-8x_1x_2+13x_2^2-x_1+17x_2 $$

за умови, що змінні задовольняють рівнянню

$$x_1-2x_2=-3 .$$

Розв'язання

Складаємо функцію Лагранжа:

$$\lambda(x_1,x_2,\lambda)=3x_1^2-8x_1x_2+13x_2^2-x_1+17x_2+\lambda(x_1-2x_2+3).$$

Знаходимо похідні

$$dL/dx_1=6x_1-8x_2-1+\lambda ,$$

$$dL/dx_2=-8x_1+26x_2+17-2\lambda ,$$

$$ dL/d\lambda=x_1-2x_2+3 $$

і записуємо систему :

$$6x_1-8x_2+\lambda=0$$

Система має один розв’язок:

$$ x_1=-3,3,$$

$$ x_2=-0,15, \lambda=19,6 . $$

який і визначає дві стаціонарні точки.

Знайдемо похідні другого порядку:

$$d^2L/d\lambda^2=0 ,$$

$$d^2L/d\lambda dx_1=d^2L/dx_1d\lambda=1 ,$$

$$d^2L/d\lambda dx_2=d^2L/dx_2d\lambda=-2 ,$$

$$d^2L/dx_1^2=6 ,$$

$$d^2L/dx_1dx_2=d^2L/dx_2dx_1=-8 ,$$

$$d^2L/dx_2^2=26 .$$

Складаємо визначник :

$$ \bigtriangleup= det \pmatrix{0& 1& -2\\ 1& 6& -8\\-2& -8& 26} =18>0,$$

Відповідь

а значить при

$$ x_1=-3,3,$$

$$x_2=-0,15$$

функція

$$f(x_1;x_2)=3x_1^2-8x_1x_2+13x_2^2-x_1+17x_2 $$

має умовний мінімум:

$$fmin = 29$$

---