Задача

За методом найшвидшого спуску, для функцій

$$f(x_1;x_2) ,$$

починаючи з точки

$$x^0 $$

і користуючись лише комп’ютерним калькулятором, зробити перші два кроки обчислень.

$$f(x)=3x_1^2-8x_1 x_2+13x_2^2-x_1+17x_2$$

Розв’язання.

Обчислимо похідні:

$$df/(dx_1 )=6x_1-8x_2-1, $$

$$ df/(dx_2 )=-8x_1+26x_2+17,$$

$$(d^2 f)/(dx_1^2 )=6, $$

$$(d^2 f)/(dx_2^2 )=26,$$

$$ (d^2 f)/(dx_1 dx_2 )=-8,$$

Тоді,

$$ (d^2 f(x^0))/(dx_1^2 )=6, $$

$$ (d^2 f(x^0))/(dx_2^2 )=26$$

$$(d^2 f(x^0))/(dx_1 dx_2 )=-8$$

Складемо матрицю

\(A=(((d^2 f(x^0))/(dx_1^2 )(d^2 f(x^0))/(dx_1 dx_2 )(d^2 f(x^0))/(dx_1 dx_2 )(d^2 f(x^0))/(dx_2^2 )))=\)\(=$$$$=((6;-8;-8;26))\)

обчислюємо її головні мінори:

$$\bigtriangleup_1=6 $$

$$ \bigtriangleup_2=\pmatrix{6& -8\\ -8& 26}=92.$$

Оскільки мінори додатні, то за критерієм Сільвестра матриця А додатно означена, а тому функція

$$ f(x1; x2)$$

в околі точки

$$ x(0)$$

є строго опуклою.

Користуючись формулами знаходимо (при k = 0)

\(y_1=(df(x^0))/(dx_1 )=6+8-1=13,\)\(y_2=df(x^0 )/(dx_2 )=17-26-8=-17.\)

Складемо функцію:

$$F(a)=f(x^k-a*gradf(x^k)=f(x_1^k-a*df(x_1^k,x_2^k)/dx_1,x_2^k-a*df(x_1^k,x_2^k)/dx_2 .$$

Оскільки

$$ x_1^0=1,$$

$$x_2^0=-1,$$

а

$$gradf(x^0) =((df(X^0) )/(dx_1 ),$$

$$(df(X^0) )/(dx_2 ))=(13;-17),$$

то

\(F(a)=3(1-13a)^2-8(1-13a)(-1+17a)+13(-1+17a)^2-1+13a+17(-1+17a)\) \(F(a)=6032a^2-471a+19, \)

тоді

$$ F' (a)=12064a-471=0, $$

отримаємо

$$ a^((0))=0,03.$$

Тоді

$$x_1^1=x_1^0-a^0*(df(X^0) )/(dx_1 )=1-0,03*13=0,61,$$

$$x_2^1=x_2^0-a^0*(df(X^0) )/(dx_2 )=-1-0,03*(-17)=-0,49.$$

Обчислюємо похідні:

$$y_1=(df(x^1) )/(dx_1 )==3,66+3,92-1=6,58,$$

$$y_2=(df(x^1))/(dx_2 )=-4,88-12,74+17=-0,62$$

Оскільки,

\( x_1^1=0,61;\)\( x_2^1=-0,49,\)

а

$$ gradf(x^0)=((df(X^0)/(dx_1 ),(df(X^0))/(dx_2 ))=(6,58;-0,62),$$

то

\(F(a)=3(0,61-6,58a)^2-8(0,61-6,58a)(-0,49+0,62a)+$$$$+13(-0,49+0,62a)^2-0,61+6,58a+17(-0,49+0,62a)\) \(F(a)=162,4a^2-35,68a-5,22, \)

тоді

$$F'(a)=324,8a-35,68=0, $$

отримаємо

$$ a^0=0,1. $$

Тоді:

$$x_1^2=x_1^1-a^1*(df(X^1) )/(dx_1 )=0,61-0,1*6,58=-0,048,$$

$$x_2^2=x_2^1-a^1*(df(X^1) )/(dx_2 )=-0,49-0,1*(-0,62)=-0,428.$$

Приймаємо

$$x_1^*=-0,048,, $$

$$x_2^*=-0,428,$$

$$f_{min}=f(x_1^*,x_2^* )=-5,005.$$

Відповідь:

$$f_{min}=f(x_1^*,x_2^* )=-5,005.$$


2016-06-05 • Просмотров [ 38 ]