Задача

Використовуючи метод Ньютона, обчислити мінімальне значення функції

$$f(x)=0,4x^3-20ln(x)-7$$

на відрізку [2; 3.5].

Розв'язання

Обчислимо похідні

$$f'(x)=1,2x^2-20/x $$

і

$$f''(x)=2,4x^2+20/x^2.$$

Крок 1. За початкову точку візьмемо точку

$$x_0=2,2 .$$

Обчислюємо

$$f'(x_0)=f'(2.2)=1,2*(2,2)^2-20/2,2=-3,282.$$

Перевіряємо умову оптимальності

$$f'(x_0)<e.$$

На першому кроці вона не виконується:

$$f'(2,2)=3,282>0,005.$$

Обчислюємо

$$f''(x_0)=f''(2.2)=2,4*2,2+20/2*4=9,41.$$

За формулою при

$$k=0 $$

обчислюємо

$$\overline{x_0} :$$

$$\overline{x_0}=x_0-f'(x_0)/f''(x_0)=2,548.$$

Крок 2. Покладаємо

$$x_1= \overline{x_0}=2,548.$$

Обчислюємо

$$f'(x_1)=f'(2,548)=0,059. $$

Перевіряємо умову оптимальності

$$f'(x_1)<e.$$

На другому кроці вона не виконується:

$$ f'(2,548)=0,059>0,005 .$$

Обчислюємо

$$ f''(x_1)=f''(2,548)=9,195.$$

За формулою при

$$ k=1$$

обчислюємо

$$ \overline{x_1} :$$

$$\overline{x_1}=x1-f'(x_1)/f''(x1)=2,554.$$

Крок 3. Покладаємо

$$ x_2=\overline{x_1}=2,554 .$$

Обчислюємо

$$ f'(x_2)=f'(2,554)=-0,003.$$

Перевіряємо умову оптимальності

$$ f'(x_2)<e:$$

$$f'(x_2)=0,003<0,005=e. $$

Обчислення завершені. Приймаємо

$$ x^*=2,554$$

і обчислюємо

$$f_min=f(2,554)=-19,087.$$

Отже,

Відповідь

$$x^*=2,554,f_{min}=-19,087 .$$


2016-06-01 • Просмотров [ 36 ]