Задача
Методом Ньютона знайти точку х* мінімуму функції
$$f(x)=1,8x-6,7 sin(0,5*x)+6 $$
на проміжку
$$[a;b]=[1;3]$$
з точністю
$$e=0,005.$$
Розв’язання.
Знайдемо першу і другу похідні від функції:
$$f' (x)=1,8-3,35 cos(0,5*x),$$
$$f'' (x)=1,75 sin(0,5*x).$$
Крок 1. За початкову точку візьмемо точку
$$x_0=2. $$
Обчислюємо:
$$f' (x_0 )=1,8-3,35 cos(0,5*2)=1,8-1,81=-0,01.$$
Перевіряємо умову оптимальності:
$$|f' (x_0 )|=0,01>e. $$
Обчислюємо:
$$f'' (x_0 )=1,75 sin(0,5*2)=1,4726.$$
За формулою обчислюємо
$$(x_0 ) :$$
$$(x_0 )=2+0,01/1,4726=2,0068$$
Крок 2. Покладаємо
$$x_1=(x_0 )=2,0068$$
Обчислюємо:
$$f' (x_0 )=1,8-3,35 cos(0,5*2,0068)=-0,0004.$$
Перевіряємо умову оптимальності:
$$|f' (x_0 )|=0,0004<e=0,005.$$
Обчислення завершені. Приймаємо
$$ x^*=2,0068 $$
і обчислюємо:
$$f_{min}=f(x* )=1,8*2,0068-6,7 sin(0,5*2,0068)+6=3,6122-5,6501+$$$$+6=3,9621.$$
Відповідь
Отже,
$$ x^*=2,0068, f_{min}=3,9621. $$
