Задача

Дана функція

$$ f(x) = 0,2*x^4-15ln(x)+5. $$

Методом Ньютона знайти точку х* мінімуму функції

$$f(x) $$

з точністю

$$e = 0,005.$$

Розв’язання.

Обчислимо похідні

$$f' (x)=0,8x^3-15/x;$$

$$ f'' (x)=2,4x^2+15/x^2 .$$

Крок 1. За початкову точку візьмемо точку

$$x_0=2.$$

Обчислюємо

$$f' (x_0 )=f' (2)=0,8*2^3-15/2=6,4-7,5=-1,1.$$

Перевіряємо умову оптимальності

$$|f' (x_0 )|<e.$$

На першому кроці вона не виконується :

$$|f' (2)|=1,1>0,005.$$

Обчислюємо

$$f'' (x_0 )=f'' (2)=2,4*4+15/4=9.6+3,75=13,35.$$

За формулою при

$$k=0 $$

обчислюємо

$$(x_0 ) :$$

$$(x_0 )=x_0-(f' (x_0 ))/(f'' (x_0 ) )=2+1,1/13,35=2+0,0824=2,0824.$$

Крок 2. Покладаємо

$$x_1=(x_0 ) =2,0824.$$

Обчислюємо

$$f' (x_1 )=f' (2,0824)=0,8*(2,0824)^3-15/2,0824=7,22-7,2032=0,0168.$$

Перевіряємо умову оптимальності

$$|f' (x_1 )|<e:$$

$$|f' (2,0824)|=0,0168>0,005=e.$$

Умова оптимальності не виконується. Отже продовжуємо обчислення.

$$f'' (x_1 )=f'' (2,0824)=2,4*(2,0824)^2+15/(2,0824)^2 =13,8664.$$

За формулою при

$$k=1 $$

обчислюємо

$$(x_1 ) :$$

$$(x_1 )=x_1-(f' (x_1 ))/(f'' (1) )=2,0824-0,0168/13,8664=2,0824-0,0012=2,0812.$$

Крок 3. Покладаємо

$$x_2=(x_1 ) =2,0812.$$

Обчислюємо

$$f' (x_2 )=f' (2,0812)=0,8*(2,0812)^3-15/2,0812=7,2116-7,2074=0,0042.$$

Перевіряємо умову оптимальності

$$ |f' (x_2 )|<e:$$

$$|f' (2,0812)|=0,0042<0,005=e.$$

Обчислення завершені. Приймаємо

$$ x^*=2,0812$$

і обчислюємо

$$f(x^* )=f(2,0812)=0,2*(2,0812)^4-15 ln(2,0812)+5=-2,242.$$

Відповідь

Отже,

\( x^*=2,0812,\)\( f(x^* )=-2,242.\)


2016-06-05 • Просмотров [ 40 ]