Задача
Дана функція
$$ f(x) = 0,2*x^4-15ln(x)+5. $$
Методом Ньютона знайти точку х* мінімуму функції
$$f(x) $$
з точністю
$$e = 0,005.$$
Розв’язання.
Обчислимо похідні
$$f' (x)=0,8x^3-15/x;$$
$$ f'' (x)=2,4x^2+15/x^2 .$$
Крок 1. За початкову точку візьмемо точку
$$x_0=2.$$
Обчислюємо
$$f' (x_0 )=f' (2)=0,8*2^3-15/2=6,4-7,5=-1,1.$$
Перевіряємо умову оптимальності
$$|f' (x_0 )|<e.$$
На першому кроці вона не виконується :
$$|f' (2)|=1,1>0,005.$$
Обчислюємо
$$f'' (x_0 )=f'' (2)=2,4*4+15/4=9.6+3,75=13,35.$$
За формулою при
$$k=0 $$
обчислюємо
$$(x_0 ) :$$
$$(x_0 )=x_0-(f' (x_0 ))/(f'' (x_0 ) )=2+1,1/13,35=2+0,0824=2,0824.$$
Крок 2. Покладаємо
$$x_1=(x_0 ) =2,0824.$$
Обчислюємо
$$f' (x_1 )=f' (2,0824)=0,8*(2,0824)^3-15/2,0824=7,22-7,2032=0,0168.$$
Перевіряємо умову оптимальності
$$|f' (x_1 )|<e:$$
$$|f' (2,0824)|=0,0168>0,005=e.$$
Умова оптимальності не виконується. Отже продовжуємо обчислення.
$$f'' (x_1 )=f'' (2,0824)=2,4*(2,0824)^2+15/(2,0824)^2 =13,8664.$$
За формулою при
$$k=1 $$
обчислюємо
$$(x_1 ) :$$
$$(x_1 )=x_1-(f' (x_1 ))/(f'' (1) )=2,0824-0,0168/13,8664=2,0824-0,0012=2,0812.$$
Крок 3. Покладаємо
$$x_2=(x_1 ) =2,0812.$$
Обчислюємо
$$f' (x_2 )=f' (2,0812)=0,8*(2,0812)^3-15/2,0812=7,2116-7,2074=0,0042.$$
Перевіряємо умову оптимальності
$$ |f' (x_2 )|<e:$$
$$|f' (2,0812)|=0,0042<0,005=e.$$
Обчислення завершені. Приймаємо
$$ x^*=2,0812$$
і обчислюємо
$$f(x^* )=f(2,0812)=0,2*(2,0812)^4-15 ln(2,0812)+5=-2,242.$$
Відповідь
Отже,
\( x^*=2,0812,\)\( f(x^* )=-2,242.\)
