Задача
За методом Ньютoна, користуючись лише комп’ютерним калькулятором, зробити перші два кроки обчислень.
$$f(x)=3x_1^2-8x_1 x_2+13x_2^2-x_1+17x_2$$
Розв’язання.
Обчислимо похідні:
$$df/(dx_1 )=6x_1-8x_2-1, $$
$$ df/(dx_2 )=-8x_1+26x_2+17,$$
$$(d^2 f)/(dx_1^2 )=6,$$
$$(d^2 f)/(dx_2^2 )=26, $$
$$ (d^2 f)/(dx_1 dx_2 )=-8.$$
Обчислимо їх у точці
$$(x^0)=(1;-1):$$
$$(d^2 f(x^0))/(dx_1^2 )=6, $$
$$ (d^2 f(x^0))/(dx_2^2 )=26,$$
$$ (d^2 f(x^0))/(dx_1 dx_2 )=-8.$$
Складемо матрицю:
$$A=(((d^2 f(x^0))/(dx_1^2 )(d^2 f(x^0))/(dx_1 dx_2 )(d^2 f(x^0))/(dx_1 dx_2 )(d^2 f(x^0))/(dx_2^2 )))=$$$$=((6-8-826))$$
обчислюємо її головні мінори:
$$\bigtriangleup_1=6,$$
$$ \bigtriangleup_2=|(6;-8;-8; 26)|=92.$$
Оскільки мінори додатні, то за критерієм Сільвестра матриця А додатно визначена, а тому функція
$$ f(x1; x2)$$
в околі точки
$$х(0) =(1;-1)$$
є строго опуклою.
Покладемо
$$ k = 1$$
і обчислюємо:
$$b_1,0=-df(x^0 )/(dx_1 )=-50+2-6=-13;$$
$$b_2,0=-df(x^0 )/(dx_2 )=-10*(-2)-1+4=17.$$
Складаємо систему рівнянь:
$$ \left\{ \begin{aligned} &6y_1-8y_2=-13\\ & -8y_1+26y_2=17\\ \end{aligned} \right. $$
Розв’язавши систему рівнянь за методом Крамера знаходимо
$$y_1^0=5,186,$$
$$y_2^0=2,27.$$
За формулами маємо
$$ x_1^1=1+5,186=6,18, $$
$$x_2^1=-1+2,27=1,27.$$
Покладаємо
$$ k = 2 $$
при
$$x^1=(6,18;1,27) $$
обчислюємо
$$b_1,1=-df(x^1) )/(dx_1 )=37,08-1-10,16=25,92;$$
$$b_2,1=-df(x^1 )/(dx_2 )=-49,44+17+33,02=0,58.$$
Складаємо систему рівнянь:
$$ \left\{ \begin{aligned} &6y_1-8y_2=-25,92\\ & -8y_1+26y_2=-0,58\\ \end{aligned} \right. $$
Розв’язавши систему рівнянь за методом Крамера знаходимо
$$y_1^0=-7,36,$$
$$y_2^0=-2,28.$$
За формулами маємо
$$x_1^1=6,18-7,36=-1,18, $$
$$x_2^1=1,27-2,28=-1,01.$$
Приймаємо
\( x_1^*=-1,18,\) \(x_2^*=-1,01, \) \(f_min=f(x_1^*,x_2^* )=-8,08;\)
Відповідь:
$$f_{min}=f(x_1^*,x_2^* )=-8,08.$$
