Задача

Використовуючи метод золотого перерізу, обчислити мінімальне значення функції

$$f(x)=0,4x^3-20ln(x)-7$$

на відрізку [2; 3.5]. Точку знайти за шість кроків.

Розв'язання

Крок 1. Покладаємо, що

$$a_1=a=2;$$

$$b_1=b=3.5.$$

За формулою визначаємо

$$c_1= 0,618*2+0,382*3,5=2,573,$$

а потім за формулою

$$d_1=5,5-2,573=2,927.$$

Обчислюємо:

$$f(c_1)=f(2,573)=6,78-18,87-7=-19,09,$$

$$f(d_1)=f(2,927)=9,95-21,43-7=-18,48.$$

Порівнюємо

$$f(c_1)=-19,09,$$

і

$$f(d_1)=-18,48,$$

$$f(c_1 ) <f(d_1).$$

Наступним відрізком локалізації точки мінімуму функції є відрізок [2;2,297].

Крок 2. Покладаємо

$$a_2=2,$$

$$ b_2=2,297.$$

Використовуючи основну властивість золотого перетину, покладаємо

$$d_2= c_1=2,573,$$

обчислюємо

$$ c_2:$$

$$c_2=2+2,297-2,573=2,354.$$

$$f(c_2)=f(2,354)=5,19-17,08-7=-18,89;$$

Значення

$$f(d_2 )=-19,09,$$

беремо з обчислень на кроці 1.

Порівнюємо

$$f(c_2 )=-18,89 $$

i

$$f(d_2 )=-19,09:$$

Наступним відрізком локалізації є відрізок [2,354;2,927].

Крок 3. Покладаємо

$$ a_2=2,354,$$

$$b_2=2,927.$$

Використовуючи основну властивість золотого перетину, покладаємо

$$c_3 = d_2=2,573,$$

обчислюємо

$$ d_3: $$

$$d_3=2,708.$$

$$f(d_3)=f(2,708)=7,94-19,92-7=-18,98;$$

Значення

$$f(c_3 )=-19,09,$$

беремо з обчислень на кроці 2.

Порівнюємо

$$f(c_3 )=-19,09$$

i

$$ f(d_3 )=-18,98:$$

$$f(c_3 )<f(d_3).$$

Наступним відрізком локалізації є відрізок [2,354;2,708].

Крок 4. Покладаємо

$$a_2=2,354,$$

$$ b_2=2,708.$$

Використовуючи основну властивість золотого перетину, покладаємо

$$d_4= c_3=2,573,$$

обчислюємо

$$c_4: $$

$$c_4=2,489.$$

$$f(c_4)=f(2,489)=6,16-18,23-7=-19,07;$$

Значення

$$f(d_4 )=-19,09,$$

беремо з обчислень на кроці 3.

Порівнюємо

$$ f(c_4 )=-19,07$$

i

$$ f(d_4 )=-19,09:$$

$$f(c_4 ) )>f(d_4).$$

Наступним відрізком локалізації є відрізок [2,489;2,708].

Крок 5. Покладаємо

$$a_5=2,489,$$

$$ b_2=2,708.$$

Використовуючи основну властивість золотого перетину, покладаємо

$$c_5 = d_4=2,573,$$

обчислюємо

$$ d_5:$$

$$ d_5=2,624.$$

$$f(d_5)=f(2,624)=7,22-7-19,29=-19,07;$$

Значення

$$f(c_5 )=-19,09,$$

беремо з обчислень на кроці 4.

Порівнюємо

$$f(c_5 )=-19,09$$

i

$$f(d_5 )=-19,07:$$

$$f(c_(5 ) )<f(d_5).$$

Наступним відрізком локалізації є відрізок [2,489;2,624].

Крок 6 Покладаємо

$$a_6=2,489,$$

$$ b_6=2,624.$$

Використовуючи основну властивість золотого перетину, покладаємо

$$d_6= c_5=2,573,$$

обчислюємо

$$c_6:$$

$$c_6=2,54.$$

$$f(c_6)=f(2,54)=6,55-7-18,6=-19,05;$$

Значення

$$f(d_6) =-19,09, $$

беремо з обчислень на кроці 5.

Порівнюємо

$$f(c_6 )=-19,05$$

i

$$ f(d_6 )=-19,09:$$

$$f(c_6 )>f(d_6). $$

Отже, після шостого кроку відрізком локалізації є відрізок [2,54;2,624]. Процес завершено.

Обчислюємо:

$$x^*=(2,54+2,624)/2=2,582;$$

Відповідь

Отже,

$$ x^*=2,582. $$

Тоді:

$$f_{min}=f(2,582)=6,88-7-18,9=-19,02;$$


2016-06-01 • Просмотров [ 42 ]