Задача

Методом золотого перерізу, використовуючи тільки калькулятор, обчислити з точністю

$$e=0,05$$

точку х* мінімуму функції

\( f(x)=1,8x-6,7 sin(0,5*x)+6\) і f(x*) на проміжку \([a;b]=[1;3].\)

Розв’язання.

Оскільки

$$e = 0,05,$$

то будемо користуватись формулами:

$$c=0,618*a+0,382*b,$$

$$d=0,382*a+0,618*b.$$

Кількість кроків п, обчислимо з формули :

$$1+2,078*ln (3-1)/0,05=1+2,078*ln40=1+2,078*3,69=1+7,67=8,6.$$

Отже,

$$ n=9.$$

Крок 1. Покладаємо

$$a_1=a=1, b_1=b=3. $$

За формулою

$$ c=0,618*a+0,382*b $$

обчислюємо:

$$c_1=0,618*1+0,382*3=0,618+1,146=1,764,$$

а потім за формулою

$$d=0,382*a+0,618*b$$

знаходимо:

$$d_1=a_1+b_1-c_1=1+3-1,764=2,236.$$

Обчислюємо:

$$f(c_1 )=f(1,764)=1,8*1,764-6,7 sin(0,5*1,764)+6=$$$$=3,1752--5,1724+6=4,0028,$$

$$f(d_1 )=f(2,236)=1,8*2,236-6,7 sin(0,5*2,236)+6=$$$$=4,0248--6,0233+6=4,0015.$$

Порівнюємо

$$f(c_1 )=4,0028$$

і

$$ f(d_1 )=4,0015:$$

$$f(c_1 )=f(1,764)>f(2,236)=f(d_1).$$

Наступним відрізком локалізації точки мінімуму функції є відрізок [1,764;3].

Крок 2. Покладаємо

$$a_2=c_1=1,764,$$

$$ b_2=b_1=3,$$

$$ c_2=d_1=2,236,$$

$$ f(c_2 )=f(d_1 )=4,0015.$$

Обчислюємо:

$$d_2=a_2+b_2-c_2=1,764+3-2,236=2,528.$$

$$f(d_2 )=f(2,528)=1,8*2,528-6,7 sin(0,5*2,528)+6=$$$$=4,5504-6,387++6=4,1634.$$

Порівнюємо

$$f(c_2 )=4,0015 $$

і

$$f(d_2 )=4,1634:$$

$$f(c_2 )=f(2,236)<f(d_2 )=f(2,528).$$

Наступним відрізком локалізації точки мінімуму функції є відрізок [1,764;2,528].

Крок 3. Покладаємо

$$a_3=1,764, $$

$$b_3=2,528,$$

$$ d_3=c_2=2,236,$$

$$ f(d_3 )==f(c_2 )=4,0015.$$

Обчислюємо:

$$c_3=a_3+b_3-d_3=1,764+2,528-2,236=2,056,$$

$$f(c_3 )=f(2,056)=1,8*2,056-6,7 sin(0,5*2,056)+6=3,7008-5,737+$$$$+6=3,9638.$$

Порівнюємо

$$f(c_3 )=3,9638 і f(d_3 )=4,0015:$$

$$f(c_3 )=f(2,056)<f(d_3 )=f(2,236).$$

Наступним відрізком локалізації точки мінімуму функції є відрізок [1,764;2,236].

Крок 4. Покладаємо

$$ a_4=a_3=1,764,$$

$$ b_3=b_4=2,236, $$

$$d_4=c_3=2,056$$

$$ f(d_4 )=f(c_3 )=3,9638.$$

Обчислюємо:

$$c_4=a_4+b_4-d_4=1,764+2,236-2,056=1,94,$$

$$f(c_4 )=f(1,944)=1,8*,944-6,7 sin(0,5*1,944)+6=$$$$=3,4992--5,5342+6=3,965.$$

Порівнюємо

$$ f(c_4 )=3,965 і f(d_4 )=3,9638:$$

$$f(c_4 )=f(1,944)>f(d_4 )=f(2,056).$$

Наступним відрізком локалізації точки мінімуму функції є відрізок [1,944;2,236].

Крок 5. Покладаємо

$$a_5=c_4=1,944,$$

$$ b_5=b_4=2,236,$$

$$ c_5=d_4=2,056,$$

$$f(c_5 )=f(d_4 )=3,9638.$$

Обчислюємо:

$$d_5=a_5+b_5-c_5=1,944+2,236-2,056=2,124,$$

$$f(d_5 )=f(2,124)=1,8*2,124-6,7 sin(0,5*2,124)+6=$$$$=3,8232-5,849++6=3,9742.$$

Порівнюємо

$$f(c_5 )=3,9638 $$

і

$$f(d_5 )=3,9742:$$

$$f(c_5 )=f(2,056)<f(d_5 )=f(2,124).$$

Наступним відрізком локалізації точки мінімуму функції є відрізок [1,944;2,124].

Крок 6. Покладаємо

$$a_6=a_5=1,944,$$

$$ b_6=d_5=2,124,$$

$$ d_6=c_5= =2,056,$$

$$ f(d_6 )=f(c_5 )=3,9638.$$

Обчислюємо:

$$c_6=a_6+b_6-c_6=1,944+2,124-2,056=2,012,$$

$$f(c_6 )=f(2,012)=1,8*2,012-6,7 sin(0,5*2,012)+6=$$$$=3,6216--5,6595+6=3,9621.$$

Порівнюємо

$$f(c_6 )=3,9621 і f(d_6 )=3,9638:$$

$$f(c_6 )=f(2,012)<f(d_6 )=f(2,056).$$

Наступним відрізком локалізації точки мінімуму функції є відрізок [1,944;2,056].

Крок 7. Покладаємо

$$a_7=a_6=1,944,$$

$$ b_7=d_6=2,056,$$

$$ d_7=c_6= =2,012,$$

$$ f(d_7 )=f(c_6 )=3,9621.$$

Обчислюємо:

$$c_7=a_7+b_7-c_7=1,944+2,057-2,012=1,988,$$

$$f(c_7 )=f(1,988)=1,8*1,988-6,7 sin(0,5*1,988)+6=$$$$=3,5784--5,6146+6=3,9638.$$

Порівнюємо

$$f(c_7 )=3,9638 і f(d_7 )=3,9621:$$

$$f(c_7 )=f(1,988)>f(d_7 )=f(2,012).$$

Наступним відрізком локалізації точки мінімуму функції є відрізок [1,988;2,056].

Крок 8. Покладаємо

$$ a_8=c_7=1,988, $$

$$b_8=b_7=2,056,$$

$$ c_8=d_7=2,012,$$

$$f(c_8 )=f(d_7 )=3,9621.$$

Обчислюємо:

$$d_8=a_8+b_8-c_8=1,988+2,056-2,012=2,032,$$

$$f(d_8 )=f(2,032)=1,8*2,032-6,7 sin(0,5*2,032)+6=3,6576-5,695+$$$$+6=3,9626.$$

Порівнюємо

$$ f(c_8 )=3,9621 $$

і

$$f(d_8 )=3,9626:$$

$$f(c_8 )=f(2,012)<f(d_8 )=f(2,032).$$

Наступним відрізком локалізації точки мінімуму функції є відрізок [1,944;2,032].

Крок 9. Покладаємо

$$a_9=a_8=1,988,$$

$$ b_9=d_8=2,032.$$

Оскільки це останній крок, то обчислюємо:

$$e_9=b_9-a_9=2,032-1,988=0,044,$$

і порівнюємо з

$$e = 0,05 :$$

$$e_9<e.$$

Процес завершено.

Обчислюємо:

$$x*=(a_9+b_9)/2=(1,988+2,032)/2=4,02/2=2,01$$

$$f_{min}=f(x* )=f(2,01)=1,8*2,01-6,7 sin(0,5*2,01)+6=$$$$=3,618--5,656+6=3,962. $$

Відповідь

Отже,

$$ x^*=2,01,$$

$$ f_{min}=3,962.$$


2016-06-05 • Просмотров [ 41 ]