Задача

Дана функція

$$ f(x) = 0,2*x^4-15ln(x)+5. $$

Раціональним методом обчислити з точністю

$$e = 0,05$$

точку х* мінімуму функції f(х) і f(х*).

Розв’язання.

Визначимо кількість кроків n, яка гарантує задану точність обчислень:

$$n>1+1,459473*ln (2,5-1,5)/0,05=1+1,459473*ln20=5,37.$$

Оскільки n найменше ціле число, що задовольняє нерівності, то n=6.

Крок 1. Покладаємо

$$a_1=a=1,5 ,$$

$$ b_1=b=2,5. $$

За формулами знаходимо

$$c_1=0,504a_1+0,496b_1=0,504*1,5+0.496*2,5=1,996 ,$$

$$d_1=0,496*a_1+0,504*b_1=0,496*1,5+0,504*2,5=2,004 ,$$

$$f(c_1 )=f(1,996)=0,2*(1,996)^4-15 ln(1,996)+5=-2,1927 ,$$

$$f(d_1 )=f(2,004)=0.2*(2,004)^4-15 ln(2,004)=-2,2015 .$$

Порівнюємо \(f(c_1 )\) і \(f(d_1 ) :\)

$$ f(c_1 )>f(d_1).$$

Крок 2. Покладаємо

$$ a_2=c_1=1,996 ,$$

$$ b_2=b_1=2,5.$$

Обчислюємо :

$$c_2=0,504a_2+0,496b_2=0,504*1,996+0.496*2,5=2,246 ,$$

$$d_2=0,496*a_2+0,504*b_2=0,496*1,996+0,504*2,5=2,25 ,$$

$$f(c_2 )=f(2,246)=0,2*(2,246)^4-15 ln(2,246)+5=-2,0479 ,$$

$$f(d_2 )=f(2,25)=0.2*(2,25)^4-15 ln(2,25)=-2,0381 .$$

Порівнюємо \(f(c_2 )\) і \(f(d_2 ) :\)

$$ f(c_2 )<f(d_2).$$

Крок 3. Покладаємо

$$ a_3=a_2=1,996 , $$

$$b_3=d_2=2,25.$$

Обчислюємо :

$$c_3=0,504a_3+0,496b_3=0,504*1,996+0.496*2,25=2.122 ,$$

$$d_3=0,496*a_3+0,504*b_3=0,496*1,996+0,504*2,25=2,124 ,$$

$$f(c_3 )=f(2,122)=0,2*(2,122)^4-15 ln(2,122)+5=-2,2302 ,$$

$$f(d_3 )=f(2,124)=0.2*(2,124)^4-15 ln(2,124)=-2,229 .$$

Порівнюємо \(f(c_3 )\) і \(f(d_3 ) :\)

$$f(c_3 )<f(d_3).$$

Крок 4. Покладаємо

$$ a_4=a_3=1,996 ,$$

$$ b_4=d_3=2,124.$$

Обчислюємо :

$$c_4=0,504a_4+0,496b_4=0,504*1,996+0.496*2,124=2,059 ,$$

$$d_4=0,496*a_4+0,504*b_4=0,496*1,996+0,504*2,124=2,06 ,$$

$$f(c_4 )=f(2,059)=0,2*(2,059)^4-15 ln(2,059)+5=-2.2384 ,$$

$$f(d_4 )=f(2,06)=0.2*(2,06)^4-15 ln(2,06)+5=-2,239 .$$

Порівнюємо \(f(c_4 )\) і \( f(d_4 ) :\)

$$ f(c_4 )>f(d_4).$$

Крок 5. Покладаємо

$$a_5=c_4=2,059 , $$

$$b_5=b_4=2,124.$$

Обчислюємо :

$$c_5=0,504a_5+0,496b_5=0,504*2,059+0.496*2,124=2,0912 ,$$

$$d_5=0,496*a_5+0,504*b_5=0,496*2,059+0,504*2,124=2,1118 ,$$

$$f(c_5 )=f(2,0912)=0,2*(2,0912)^4-15 ln(2,0912)+5=-2,2413 ,$$

$$f(d_5 )=f(2,1118)=0.2*(2,1118)^4-15 ln(2,1118)=-2,2353 .$$

Порівнюємо \( f(c_5 )\) і \(f(d_5 ) :\)

$$ f(c_5 )>f(d_5).$$

Крок 6. Покладаємо

$$ a_6=c_5=2,0912,$$

$$ b_6=b_5=2,124 . $$

Це останній крок. Перевіряємо умову завершення обчислень

$$b_6-a_6=0,0322<e=0,05 .$$

Відповідь

Оскільки \(f(a_6 )=f(c_5 )>f(d_5 )=f(b_6), \), то можна прийняти \(x^*=b_6=2,124 , \) a \( f_{min}=f(2,124)=-2,229. \)


2016-06-05 • Просмотров [ 51 ]