Задача

Раціональним методом, використовуючи тільки калькулятор, обчислити з точністю

$$e=0,05 $$

точку

$$x^* $$

мінімуму функції

$$f(x)=1,8x-6,7 sin(0,5*x)+6 $$

і

$$f(x^*)$$

на інтервалі

$$[a;b]=[1;3]. $$

Розв’язання.

З формул (1.2) і (1.3):

$$c=0,504*a+0,496*b, (1.4)$$

$$d=0,496*a+0,504*b. (1.5)$$

Визначимо кількість кроків п, яка гарантує задану точність обчислень:

$$n>1+1,459473*ln (3-1)/0,05=1+1,459473*ln40=1+1,459473*3,69=6,4.$$

Оскільки п найменше ціле число, що задовольняє нерівності, то n=7.

Крок 1. Покладаємо

\(a_1=a=1,\)\( b_1=b=3.\)

За формулами (1.4) та (1.5) знаходимо:

$$c_1=0,504*1+0,496*3=0,504+1,488=1,992,$$

$$d_1=0,496*1+0,504*3=0,496+1,512=2,008.$$

Обчислюємо:

$$f(c_1 )=f(1,992)=1,8*1,992-6,7 sin(0,5*1,992)+6=3,5856-5,623+$$$$+6=3,9626,$$

$$f(c_1 )=f(1,992)=1,8*2,008-6,7 sin(0,5*2,008)+6=3,6144-5,652+$$$$+6=3,9624.$$

Порівнюємо

$$f(c_1)$$

і

$$f(d_1):$$

$$f(c_1 )=f(1,992)>f(2,008)=f(d_1 )$$

Наступним відрізком локалізації є відрізок [1,992;3].

Крок 2. Покладаємо

$$ a_2=с_1=1,992,$$

$$ b_2=b_1=3.$$

Обчислюємо:

$$c_2=0,504*1,992+0,496*3=1,004+1,488=2,492,$$

$$d_2=0,496*1,992+0,504*3=0,988+1,512=2,5,$$

$$f(c_2 )=f(2,492)=1,8*1,492-6,7 sin(0,5*1,492)+6=4,4856-6,349+$$$$+6=4,1366.$$

$$f(c_2 )=f(2,5)=1,8*2,5-6,7 sin(0,5*2,5)+6=4,5-6,3583+$$$$+6 =4,1417.$$

Порівнюємо

$$f(c_2)$$

і

$$ f(d_2):$$

$$f(c_2 )<f(d_2 )$$

Наступним відрізком локалізації є відрізок [1,992;2,5].

Крок 3. Покладаємо

$$a_3=a_2=1,992,$$

$$ b_3=d_2=2,5.$$

Обчислюємо:

$$c_3=0,504*1,992+0,496*2,5=1,004+1,24=2,244,$$

$$d_3=0,496*1,992+0,504*2,5=0,988+1,26=2,248,$$

$$f(c_3 )=f(2,244)=1,8*2,244-6,7 sin(0,5*2,244)+6=4,0392--6,0367+$$$$+6=4,0025.$$

$$f(d_3 )=f(2,248)=1,8*2,248-6,7 sin(0,5*2,248)+6=4,0464-6,042+$$$$+6=4,044.$$

Порівнюємо

$$ f(c_3) $$

і

$$ f(d_3):$$

$$f(c_3 )<f(d_3 )$$

Наступним відрізком локалізації є відрізок [1,992;2,248].

Крок 4. Покладаємо

$$ a_4=a_3=1,992,$$

$$ b_4=d_3=2,248.$$

Обчислюємо:

$$c_4=0,504*1,992+0,496*2,248=1,004+1,115=2,119,$$

$$d_4=0,496*1,992+0,504*2,248=0,988+1,133=2,121,$$

$$f(c_4 )=f(2,119)=1,8*2,119-6,7 sin(0,5*2,119)+6=3,8142--5,8431+$$$$+6=3,9711.$$

$$f(d_4 )=f(2,121)=1,8*2,121-6,7 sin(0,5*2,121)+6=3,8178-5,846+$$$$+6=3,9718.$$

Порівнюємо

$$f(c_4)$$

і

$$f(d_4):$$

$$f(c_4 )<f(d_4 )$$

Наступним відрізком локалізації є відрізок [1,992;2,121].

Крок 5. Покладаємо

$$a_5=a_4=1,992,$$

$$ b_5=d_4=2,121.$$

Обчислюємо:

$$c_5=0,504*1,992+0,496*2,121=1,004+1,052=2,056,$$

$$d_5=0,496*1,992+0,504*2,121=0,988+1,069=2,057,$$

$$f(c_5 )=f(2,056)=1,8*2,056-6,7 sin(0,5*2,056)+6=3,701-5,737+$$$$+6=3,964,$$

$$f(d_5 )=f(2,057)=1,8*2,057-6,7 sin(0,5*2,057)+6=3,7026--5,7385+$$$$+6=3,9641.$$

Порівнюємо

$$f(c_5)$$

і

$$ f(d_5):$$

$$f(c_5 )<f(d_5 )$$

Наступним відрізком локалізації є відрізок [1,992;2,057].

Крок 6. Покладаємо

$$ a_6=a_5=1,992, $$

$$b_6=d_5=2,057.$$

Обчислюємо:

$$c_6=0,504*1,992+0,496*2,057=1,004+1,0203=2,0243,$$

$$d_6=0,496*1,992+0,504*2,057=0,988+1,0367=2,0247,$$

$$f(c_6 )=f(2,0243)=1,8*2,0243-6,7 sin(0,5*2,0243)+6=3,6437--5,6816+$$$$+6=3,9621,$$

$$f(d_6 )=f(2,0247)=1,8*2,0247-6,7 sin(0,5*2,0247)+6=3,644--5,6816+$$$$+6=3,9624.$$

Порівнюємо

$$ f(c_6) $$

і

$$f(d_6):$$

$$f(c_6 )<f(d_6 )$$

Наступним відрізком локалізації є відрізок [1,992;2,0247].

Крок 7. Покладаємо

$$a_7=a_6=1,992,$$

$$ b_7=d_6=2,0247. $$

Це останній крок. Перевіряємо умову завершення обчислень:

$$b_7-a_7=2,0247-1,992=0,0327<e=0,05.$$

Оскільки

$$f(a_7 )=f(c_6 )<f(b_7 )=f(d_6),$$

то можна прийняти:

$$x*=b_7=2,0247, $$

а

$$ f_{min}=f(x* )=f(2,0247)=1,8*2,0247-6,7 sin(0,5*2,0247)+6=$$$$=3,644-5,6816+6=3,962.$$

Відповідь

Отже,

$$x^*=2,0247,$$

$$ f_{min}=3,9624. $$


2016-06-05 • Просмотров [ 50 ]