Условие. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету "формула". Сколько нужно купить билетов, чтобы выиграть хотя бы одному из них с вероятностью "формула", не меньшей, чем 0,95?
Решение. Вероятность выигрыша мала, а число билетов, которое нужно купить, очевидно, велико, поэтому случайное число выигрышных билетов имеет приближенно распределение Пуассона.

Ясно, что события "ни один из купленных билетов не является выигрышным" и "хотя бы один билет - выигрышный" - противоположные.
Поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице:

                    \(P_{n}(0)+P=1,\), или \(P=1-P_{n}(0).\)                           (*) 

Положив k=0 в формуле Пуассона \(P_{n}(k)=λ^{k}e^{-λ}/k!,\), получим
                                       \[P_{n}(0)=e^{-λ}.\]
Следовательно, соотношение (*) примет вид
                                       \[P=1-e^{-λ}.\]
По условию, \(P\geq0,95,\), или \(1-e^{-λ}\geq0,95.\) Отсюда

                                       \(e^{-λ}\leq0,05.\)      (**)
По таблице функции \(e^{-x}\) находим \(e^{-3}=0,05.\) Учитывая, что функция \(e^{-x}\) - убывающая, заключаем, что неравенство (**) выполняется при \(λ\geq3\), или при \(np\geq3\). Следовательно, \(n\geq3/p=3/0,01=300.\). Итак, надо купить не менее 300 билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из них.

 


2017-12-21 • Просмотров [ 48 ]