Доведіть за допомогою методу математічної індукції.
$$\large \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\cdots + \frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}$$ при всіх натуральних \(\large n(n\in N )\).
Рішення:
$$\large n=1:\frac{1}{1\cdot2}=\frac{1}{1+1}$$ - правильно.
Отже, при \(n=1\) рівність виконується.
Припустимо, що задана рівність виконується при \(n=k\), тобто
$$\large \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\cdots + \frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}.$$
Припустимо, що дана рівність виконується при \(n=k+1\).
$$\large \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\cdots + \frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k+1}{k+2}.$$
Оскільки
$$\large \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\cdots + \frac{1}{k(k+1)}+\frac{k}{k+1}$$, то треба довести, що
$$\large \frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k+1}{k+2};$$
$$\large \frac{k^2+2k+1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k+1}{k+2};$$
$$\large \frac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)}=\frac{k+1}{k+2};$$
$$\large\frac{k+1}{k+2}=\frac{k+1}{k+2}$$ - правильно.
