Доведіть за допомогою методу математічної індукції.

Рішення:

$$\large \frac{1}{1\cdot5}+\frac{1}{5\cdot9}+\cdots + \frac{1}{(4n-3)(4n+3)}=\frac{n}{n+1}$$, де  $$\large n\in N $$.

$$\large n=1:\frac{1}{1\cdot5}=\frac{1}{4\cdot1+1}$$ - правильно.

Отже, при \(n=1\) рівність виконується.

Припустимо, що задана рівність виконується при \(n=k\), тобто

$$\large \frac{1}{1\cdot5}+\frac{1}{5\cdot9}+\cdots + \frac{1}{(4k-3)(4k+3)}= \frac{k}{4k+1}$$.

Припустимо, що дана рівність виконується при \(n=k+1\). $$\large \frac{1}{1\cdot5}+\frac{1}{5\cdot9}+\cdots + \frac{1}{(4k-3)(4k+1)}+\frac{1}{(4k-1)(4k+5)}=\frac{k+1}{(4k+5)}$$.

Оскільки

$$\large \frac{1}{1\cdot5}+\frac{1}{5\cdot9}+\cdots + \frac{1}{(4k-3)(4k+1)}=\frac{k}{4k+1},$$ тоді

$$\large\frac{k}{4k+1}+\frac{1}{(4k+1)(4k+5)}=\frac{4k^2+5k+1}{(4k+1)(4k+5)}=$$

$$\large\frac{4(k+\frac{1}{4})}{(4k+1)(4k+5)}=\frac{(4k+1)(k+1)}{(4k+1)(4k+5)}=\frac{k-1}{4k+5}$$;

$$\large\frac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)}=\frac{k+1}{k+2}; \frac{k+1}{k+2}=\frac{k+1}{k+2}$$ - правильно.

---

---