Доведіть за допомогою методу математічної індукції.

Рішення

$$\large 1^3+2^3+3^3\cdots + n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4},$$ де \(\large n\in N\).

$$\large n=1:1^2=\frac{1^2(1+1)}{4}$$ - правильно.

Отже, при \(n=1\) рівність виконується.

Припустимо, що задана рівність виконується при \(n=k\), тобто

$$\large 1^3+2^3+3^3\cdots + k^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}.$$

Припустимо, що дана рівність виконується при \(n=k+1\). $$\large 1^3+2^3+3^3\cdots + k^3 + (k+1)^3=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$$.

Оскільки

$$\large 1^3+2^3+3^3\cdots + k^3 =\frac{k^2(k+1)^2(k+2)^2}{4},$$ то

$$\large1^3+2^3+3^3\cdots+k^3+(k+1)^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3=$$

$$\large=\frac{k^2(k+1)^2\cdot4(k+1)^3}{4}=\frac{(k+2)^2\cdot(k^2+4k+4)}{4}=\frac{(k+1)^2\cdot(k+2)^2}{4}$$- правильно.

---

---