Приклад . Зiнтегрувати рiвняння
$$2x(1+\sqrt{x^2-y})dx-\sqrt{x^2-y}dy=0$$
Розв’язання. Оскiльки
$$\frac{d}{dy}(2x(1+\sqrt{x^2-y}))=-\frac{x}{\sqrt{x^2-y}}$$
$$\frac{d}{dx}(-\sqrt{x^2-y})=-\frac{x}{\sqrt{x^2-y}}$$
то задане рiвняння є рiвнянням у повних диференцiалах. Знайдемо його загальний iнтеграл за формулою
$$\int 2x(1+\sqrt{x^2-y})dx+\int (-\sqrt{x^2-y}-\frac{d}{dy}\int 2x(1+\sqrt{x^2-y})dx)dy=$$ $$=x^2+\frac{2}{3}\sqrt{(x^2-y)^3}+\int (-\sqrt{x^2-y}-\frac{d}{dy}(x^2+\frac{2}{3}\sqrt{(x^2-y)^3})dy)=$$ $$=x^2+\frac{2}{3}\sqrt{(x^2-y)^3}+\int (-\sqrt{x^2-y}+\sqrt{x^2-y})dy=x^2+\frac{2}{3}\sqrt{(x^2-y)^3}=$$
Отже,
$$x^2+\frac{2}{3}\sqrt{(x^2-y)^3}=C$$
загальний iнтеграл цього рiвняння. Зауважимо, що тут можна визначити y i записати загальний розв’язок
$$\large y=x^2-\sqrt[3]{\frac{9}{4}(C-x^2)^2}$$
