ЗАДАНИЕ. Исследовать на сходимость ряд

$$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{(3n-5)ln^2(4n-7)}}$$

РЕШЕНИЕ:

Сравним данный ряд с рядом $$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{(4n-7)ln^2(4n-7)}}.$$   Так как

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{1}{(3n-5)ln^2(4n-7)}:\frac{1}{(4n-7)ln^2(4n-7)} \right)=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3n-5}{4n-7}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3-5/n}{4-7/n}=\frac{3}{4}\neq 0,\infty.$$

то если ряд $$ \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{(4n-7)ln^2(4n-7)}}$$  сходится, то исходный также сходится по предельному признаку сравнения. 

Исследуем ряд  $$ \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{(4n-7)ln^2(4n-7)}}$$

Используем интегральный признак Коши. Рассмотрим соответствующий несобственный интеграл $$ \int_{3}^{\infty}{\frac{dx}{(4x-7)ln^2(4x-7)}}$$ от положительной убывающей функции.

Исследуем его сходимость.

$$\int_{3}^{\infty}{\frac{dx}{(4x-7)ln^2(4x-7)}}=\lim_{A\rightarrow \infty}\int_{3}^{A}{\frac{dx}{(4x-7)ln^2(4x-7)}}=\frac{1}{4}\lim_{A\rightarrow \infty}\int_{3}^{A}{\frac{d(ln(4x-7))}{ln^2(4x-7)}}=\left[\int \frac{dy}{y^2}=-\frac{1}{y} \right]=$$ $$= \frac{1}{4}\lim_{A\rightarrow \infty} \left(-\frac{1}{ln(4x-7)} \right)\bigg|_3^A=\frac{1}{4}\lim_{A\rightarrow \infty}\left(-\frac{1}{ln(4A-7)}+\frac{1}{ln(12-7)} \right)=\frac{1}{4ln5}< \infty.$$

Интеграл сходится, значит, исходный ряд также сходится. 


 Похожие публикации
2015-06-08 • Просмотров [ 314 ]