Задание. Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям
$$y^{''}=x^2y-y^2,y(0)=1,y{'}(0)=0$$
Решение. Пусть
$$y(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+...+a_nx^n+...,$$
тогда
$$y'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+...+na_nx^{n-1}+...,$$
$$y''(x)=2a_2+6a_3x+12a_4x^2+...+n(n-1)a_nx^{n-2}+...,$$
Используя начальные условия, найдем \(a_0\) и \(a_1\):
$$y(0)=a_0=1,y'(0)=a_1=0.$$
Найдем выражение для \(y^2\) :
$$y^2=a^2_0+2a_0a_1x+2a_0a_2x^2+2a_0a_3x^3+...+a^2_1x^2+2a_1a_2x^3+...+a^2_2x^4+...$$
Подставляем все в исходное уравнение:
$$2a_2+6a_3x+12_4x^2+...=x^2(1+a_2x^2+a_3x^3+...)-(1+2a_2x^2+2a_3x^3+...+a_2^2x^4+...),$$
$$(2a_2+1)+6a_3x+(12a_4-1+2a_2)x^2+...=0.$$
откуда
$$2a_2+1=0,a_2=-1/2, 6a_3=0,a_3=0, 12a_4-1+2a_2=0,a_4=1/6.$$
Таким образом, решение дифференциального уравнения
$$y(x)=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^4+...$$
 
 

---

---