ЗАДАНИЕ. Найти длину дуги кривой l .
$$y=\frac{x^2}{4}-\frac{lnx}{2},1\leq x\leq 2.$$
РЕШЕНИЕ:
Вычислим:
$$y'=\left(\frac{x^2}{4}-\frac{lnx}{2} \right)'=\frac{x}{2}-\frac{1}{2x}=\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{x} \right)=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2-1}{x} \right)$$
$$1+(y')^2=1+\frac{1}{4}\left(\frac{x^2-1}{x} \right)^2=\frac{4x^2+x^4-2x^2+1}{4x^2}=\frac{x^4+2x^2+1}{4x^2}=\left(\frac{x^2+1}{2x} \right)^2$$
Тогда длина дуги кривой равна:
$$L =\int_{1}^{2}{\sqrt{1+(y')^2}dx}=\int_{1}^{2}{\frac{x^2+1}{2x}dx}=\int_{1}^{2}{\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{2x} \right)dx}=\left(\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2} lnx\right)\mid^2_1=1+\frac{1}{2}ln2-\frac{1}{4}-0=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}ln2$$
ОТВЕТ:\(\frac{3}{4}+\frac{1}{2}ln2\).

---

---