Пример 1. Следующую формулу привести к СДНФ, предварительно приведя ее равносильными преобразованиями к ДНФ:
$$A \equiv a ( bc \rightarrow ab) .$$
Решение. \(A \equiv a ( bc \rightarrow ab) \equiv a ( \bar{b}\bar{c} \vee ab) \equiv a ( \bar{b} \vee \bar{c} \vee ab) \equiv\)
\(\equiv a \bar{b} \vee a \bar{c} \vee ab \equiv ДНФ A\).
$$A \equiv ДНФ A \equiv a\bar{b } ( c \vee \bar{c}) \vee a\bar{c} ( b \vee \bar{b}) \vee ab ( c \vee \bar{c})\equiv$$
$$\equiv a\bar{b} c \vee a \bar{b} \bar{c} \vee ab\bar{c} \vee a \bar{b} \bar{c} \vee abc \vee ab\bar{c} \equiv$$
$$\equiv a\bar{b} c \vee a \bar{b} \bar{c} \vee ab\bar{c} \vee \vee abc \equiv СДНФ A.$$
Ответ. \(СДНФ A \equiv a\bar{b} c \vee a \bar{b} \bar{c} \vee ab\bar{c} \vee \vee abc .\)
Пример 2. Для формулы из примера 1 найти СДНФ путем составления таблицы истинности.
Решение. Составим таблицу истинности для формулы \(A \equiv a ( bc \rightarrow ab).\)
| \(a\) | \(b\) | \(c\) | \(bc\) | \(ab\) | \(bc\rightarrow ab\) | \(A\) |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
Ответ. Тогда \(СДНФ A \equiv abc \vee ab \bar{c} \vee a\bar{b}c \vee a\bar{b}\bar{c}.\)
Пример 3. Для формулы из примера 1 найти СКНФ путем равносильных преобразований, предварительно приведя ее к КНФ.
Решение. Из примера 1: \(A \equiv a\bar{b} \vee a \bar{c} \vee ab.\) Далее \(A \equiv a ( \bar{b} \vee \bar{c} \vee b) \equiv a \wedge 1\equiv a\equiv КНФ A.\)
$$A \equiv КНФ A \equiv a \vee ( b \wedge \bar{b}) \equiv ( a \vee b) \wedge ( a \vee \bar{b}) \equiv$$
$$\equiv (( a \vee b) \vee c \wedge \bar{c}) \wedge (( a \vee \bar{b}) \vee c \wedge \bar{c}) \equiv$$
$$\equiv ( a \vee b \vee c) \wedge(a \vee b \vee \bar{c}) \wedge ( a \vee \bar{b} \vee c) \wedge ( a \vee \bar{b} \vee \bar{c}) \equiv СКНФ A.$$
Ответ. \(СКНФ A \equiv ( a \vee b \vee c) \wedge(a \vee b \vee \bar{c}) \wedge ( a \vee \bar{b} \vee c) \wedge ( a \vee \bar{b} \vee \bar{c}).\)
Пример 4. Для формулы из примера 1 найти СКНФ, записав предварительно СДНФ ее отрицания, а потом воспользовавшись формулой двойственности.
Решение. СКНФ
$$\bar{A} \equiv \overline{СДНФ \bar{A}} \equiv \overline{\bar{a}bc \vee \bar{a}b\bar{c} \vee \bar{a}\bar{b}c \vee \bar{a}\bar{b}\bar{c}} \equiv$$
$$\equiv ( a \vee \bar{b} \vee \bar{c} ) \wedge ( a \vee \bar{b} \vee c) \wedge ( a \vee b \vee \bar{c}) \wedge ( a \vee b \vee c) .$$
Ответ. СКНФ \(A \equiv ( a \vee \bar{b} \vee \bar{c} ) \wedge ( a \vee \bar{b} \vee c) \wedge ( a \vee b \vee \bar{c}) \wedge ( a \vee b \vee c) .\)
