Экстремум функции

Функция \(z=f(x,y)\) имеет максимум (минимум) в точке \(M_0(x_0;y_0)\) , если значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в лююой другой точке \(M(x;y)\) некоторой окресности точки \(M_0\) т.е. \(f(x_0;y_0)>f(x,y)\) для всех точек \(M(x;y)\) , удовлетворящих условию \(\left|M_0M \right|<\delta\) , где \(\delta\) -достоточно малое положительно число.
Максимум или минимум функции называется ее экстремумом. Точка \(M_0\), в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.
Если дифференцируемая функция \(z=f(x,y)\) достигает экстремума в точке \(M_0(x_0;y_0)\) то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т.е.
$$\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}=0;\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}=0$$
необходимые условия экстремума.
Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.

Пример 1. Найти экстремум функции \(z=x^2+xy+y^2-3x-6y.\)
Находим частные производные первого порядка :
$$\frac{\partial z}{\partial x}=2x+y-3,\frac{\partial z}{\partial y}=x+2y-6.$$
Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки :
$$\begin{cases} & \text{ } 2x+y-3= 0 \\ & \text{ } x+2y-6=0 \end{cases}$$
Откуда \(x=0,y=3; M(0;3).\)
Находим значения частных производных второго порядка в точке \(M\) :
$$\frac{\partial ^2z}{\partial x^2}=2,\frac{\partial ^2z}{\partial y^2}=2,\frac{\partial ^2z}{\partial x\partial y}=1$$
и составляем дискриминант
$$\triangle=AC-B^2=2\cdot 2-1=3>0;A>0.$$
Следовательно, в точке \(M(0;3)\) заданная функция имеет минимум. Значение в этой точки \(z_{min}=-9.\)

Пример 2. Найти экстремум функции
$$z=\frac{1}{2}xy+(47-x-y)\left(\frac{x}{3}+\frac{y}{4} \right).$$
Находим частные производные первого порядка :
$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{1}{12}y-\frac{2}{3}x+\frac{47}{3},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{12}x+\frac{47}{4}.$$
Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарыне точки:
$$\begin{cases} & \text{ }-\frac{1}{12}y-\frac{2}{3}x+\frac{47}{3}=0 \\ & \text{ }-\frac{1}{2}y-\frac{1}{12}x+\frac{47}{4}= 0 \end{cases}$$
или
$$\begin{cases} & \text{ }8x+y=188 \\ & \text{ }x+6y= 141. \end{cases}$$
Отсюда \(x=21,y=20;\) стационарная точка \(M(21;20)\).
Найдем значения вторых производных в точке \(M :\)
$$\frac{\partial ^2z}{\partial x^2}=-\frac{2}{3},\frac{\partial ^2z}{\partial y^2}=-\frac{1}{2},\frac{\partial ^2z}{\partial x\partial y}=-\frac{1}{12}.$$
Тогда
$$\triangle=AC-B^2=(-2/3)(-1/2)-(-1/12)^2=1/3-1/144>0.$$
Так как \(A<0\) , то в точке \(M(21;20)\) функция имеет максимум :\(z_{max}=282.\)

Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области

Условный экстремум функции \(z=f(x,y)\) называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные \(x\) и \(y\) связаны уравнением \(\varphi (x,y)=0\) (уравнение связи).
Отыскание условного экстремума можно свести к исследованию на обычный экстремум так называемой функции Лагранжа \(u=f(x,y)+\lambda \varphi (x,y)\) , где \(\lambda\) - неопределенный постоянный множитель.
Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеют вид
$$\frac{\partial u}{\partial x}\equiv \frac{\partial f}{\partial x}+\lambda\frac{\partial \varphi }{\partial x}=0,$$
$$\frac{\partial u}{\partial y}\equiv \frac{\partial f}{\partial y}+\lambda\frac{\partial \varphi }{\partial y}=0,$$
$$\varphi (x,y)=0.$$
Из этих трьех уравнений можно найти неизвестные \(x,y,\lambda\).
Для того что бы найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, надо :
1) найти стационарные точки, расположенные в данной области, и вычислить значения функции в этих точках;
2) найти наибольшее и наименьшее значения функции на линиях, образующих границу области;
3) из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 1. Найти экстремум функции \(z=xy\) при условии, что \(x\) и \(y\) связаны уравнением \(2x+3y-5=0.\)
Рассмотрим функцию Лагранжа \(u=xy+\lambda(2x+3y-5)=0.\) Имеем
$$\frac{\partial u}{\partial x}=y+2\lambda, \frac{\partial u}{\partial y}=x+3\lambda.$$
Из системы уравнений (необходимые условия экстремума)
$$\begin{cases} & \text{ } y+2\lambda =0, \\ & \text{ } x+3\lambda =0, \\ & \text{ } 2x+3y-5= 0 \end{cases}$$
находим \(\lambda=-5/12, x=5/4, y=5/6.\) Нетрудно видеть, что в точке \((5/4;5/6)\) функция \(z=xy\) достигает наибольшего значения \(z_{max}=25/24.\)


2012-12-15 • Просмотров [ 13854 ]