Комплексные числа

Комплексными числами называются чила вида \(x+iy\), где \(x\) и \(y\) - действительные числа, \(i\) - мнимая единица, определяемая равенством \(i^2=-1\) . Действительные числа \(x\) и \(y\) называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа \(z\). Для них вводится обозначение: \(x=Rez;y=Imz.\)

Пример 1. Найти \((z_1,z_2)/z_3\) , если \(z_1=3+5i,\) \(z_2=2+3i,\) \(z_3=1+2i\).
Решение:
$$z_1z_2=(3+5i)(2+3i)=6+9i+10i-15=-9+19i,$$
$$\frac{z_1z_2}{z_3}=\frac{-9+19i}{1+2i}=\frac{(-9+19i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=$$
$$=\frac{-9+18i+19i+38}{1+4}=\frac{29}{5}+\frac{37}{5}i.$$

Пример 2. Представить в тригонометрической форме комплексные числа \(1,i,-1,-i.\)
Решение:
$$1=1+0\cdot i=1\cdot( \cos 0+i\sin 0),$$
$$i=0+1\cdot i=1\cdot \left[\cos (\pi /2) +i\sin (\pi /2) \right] ,$$
$$-1=-1+0\cdot i=1\cdot( \cos \pi +i\sin ),$$
$$-i=0-1\cdot i=1\cdot \left[\cos (-\pi /2) +i\sin (-\pi /2) \right] .$$

Пример 3. Предствить числа \(z_1=1+i,\) \(z_2=\sqrt{3}+i,\) \(z_3=1+i\sqrt{3}\) в тригонометрической форме, а затем найти комплексное число \(z_1/(z_2z_3).\)
Решение. Находим
$$r_1=\left|z_1 \right|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2},\tan \varphi _1=1,\varphi _1=argz_1=\pi /4,$$
$$z_1=\sqrt{2}\left[\cos (\pi /4)+i\sin (\pi /4) \right];$$
$$r_2=\left|z_2 \right|=\sqrt{3+1}=2,\tan \varphi _2=1/\sqrt{3},\varphi _2=argz_2=\pi /6,$$
$$z_2=2\left[\cos (\pi /6)+i\sin (\pi /6) \right];$$
$$r_3=\left|z_3 \right|=\sqrt{3+1}=2,\tan \varphi _3=\sqrt{3},\varphi _3=argz_3=\pi /3,$$
$$z_3=2\left[\cos (\pi /3)+i\sin (\pi /3) \right];$$
Cледовательно,
$$z_2z_3=2\cdot 2\left[\cos (\pi /6+\pi /3)+i\sin(\pi /6+\pi /3) \right]=4\left[\cos (\pi /2)+i\sin (\pi /2) \right]$$
$$\frac{z_1}{z_2z_3}=\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot \frac{\cos (\pi /4)+i\sin (\pi /4)}{\cos (\pi /2)+i\sin (\pi /2) }=$$
$$=\frac{\sqrt{2}}{4}\left[\cos (-\pi /4)+i\sin (-\pi /4) \right]=\frac{1}{4}(1-i).$$

Ряды с комплексными членами

Пример 1. Исследовать сходимость ряда
$$(1+i)+(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}i)+(\frac{1}{4}+\frac{1}{9}i)+...+\left(\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{3^{n-1}}i \right)+...$$
Ряды
$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^{n-1}}+...$$
$$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{3^{n-1}}+...$$
сходятся, так как они составлены из членов бесконечно убывающих геометрических прогрессий. Следовательно, сходится и задний ряд с комплексными членами.
Найдем сумму этих прогрессий:
$$S_1=\frac{1}{1-1/2}=2, S_2=\frac{1}{1-1/3}=\frac{3}{2}.$$
Следовательно, сумма рассматриваемого ряда есть комплексное число \(S=2+(3/2)i.\)

Пример 2. Исследовать сходимость ряда
$$(1+0,1i)+(\frac{1}{2}+0,01i)+(\frac{1}{3}+0,001i)+...+(\frac{1}{n}+\frac{i}{10^n})+...$$
Рассмотрим ряды
\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+...\) и \(0,1+0,01+0,001+...+(0,1)^n+...\)
Первый из них расходится, следовательно, расходится и данный ряд с комплексными членами.

Пример 3. Показать, что ряд
$$\frac{1+i}{2}+(\frac{1+i}{2})^2+(\frac{1+i}{2})^3+...+(\frac{1+i}{2})^n+...$$
сходится абсолютно .
Так как \(1+i=\sqrt{2}\left[\cos (\pi /4)+i\sin (\pi /4) \right]\) , то
$$\omega _n=(\frac{1+i}{2})^n=\left[\frac{\cos (\pi /4)+i\sin (\pi /4)}{\sqrt{2}} \right]^n=\frac{1}{2^{n/2}}(\cos \frac{\pi n}{4}+i\sin \frac{\pi n}{4}).$$
Следовательно, \(\left|\omega _n \right|=1/2^{n/2}\). Составим ряд из модулей :
$$\frac{1}{2^{n/2}}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{3/2}}+...+\frac{1}{2^{n/2}}+...$$
Этот ряд, члены которого образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, сходятся; следовательно, заданный ряд с комплексными членами сходится абсолютно.


2012-12-10 • Просмотров [ 3966 ]