Задача: Решить дифференциальное уравнение \(y^{''}+4y^{'}+3y=x\) .

Решение.
Находим решение соответствующего линейного однородного дифуравнения:
\(y^{''}+4y^{'}+3y=0\)
\(k^{2}+4k+3=0\)
\(\begin{cases}k_{1}=-1 \\k_{2}=-3\end{cases}\)
\(y=c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{-3x}\)
Находим частное решение дифуравнения:
\(f(x)=x\)
\(P(x)=x\Rightarrow M(x)=Ax+B\)
\(\alpha =0\) - не корень характеристического уравнения
\(\overline{y}=Ax+B\)
\(\overline{y}^{'}=A\)
\(\overline{y}^{''}=0\)
\(4A+3Ax+3B=x\)
при \(x\): \(3A=1\Rightarrow A=\frac{1}{3}\)
при \(x^{0}\): \(4A+3B=0\Rightarrow B=-\frac{4}{9}\)
\(\overline{y}=\frac{1}{3}x-\frac{4}{9}\)
Общее решение дифуравнения: \(Y=y+\overline{y}=c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{-3x}+\frac{1}{3}x-\frac{4}{9}\).

---

---