Вычислить координаты центра масс однородного тела, что занимает область V, ограниченную поверхностями:

\(z=x^2+y^2,\) \(x^2+y^2=4\), \(z=0\)
Решение:
Данное тело симметрично относительно оси OZ (рисунок 1.1), поэтому xc,=yc=0,  а

\(zc=\frac{\int \int \int_{V}{zdxdydz}}{\int \int \int_{V}{zdxdydz}}\)
 
Переходим к цилиндрических координат по формулам:

\(x=\rho cos\varphi , y=\rho sin\varphi , z=z\)


\(0\leq \varphi \leq 2\pi , 0\leq \rho \leq 2, 0\leq z\leq \rho ^2\)
 


Тогда:
 
\(\int \int \int_{V}{zdxdydz}=\int \int \int_{V}{z \rho d \rho d\
\varphi dz}=\int_{0}^{2}{\rho d\rho \int_{0}^{2\pi }{d\varphi
}}\int_{0}^{\rho ^2}{zdz}=\)



\(\int_{0}^{2}{\rho d\rho }\int_{0}^{2\pi }{\frac{\rho ^4}{2}d\varphi }=\pi \int_{0}^{4}{\rho ^5d\rho }=\pi\frac{2^6}{6}\)


\(\int \int \int_{V}{zdxdydz}=\int \int \int_{V}{z \rho d \rho d\
\varphi dz}=\int_{0}^{2}{\rho d\rho \int_{0}^{\frac{2}{\pi }}{d\varphi
}}\int_{0}^{\rho ^2}{dz}=\)


\(\int_{0}^{2}{\rho d\rho \int_{0}^{\frac{2}{\pi
}}{\rho ^2d\varphi }}=2\pi \int_{0}^{2}{\rho ^3d\rho =8\pi }\)

 

\(zc=\frac{64\pi }{8*6\pi }=\frac{4}{3}\)




Ответ: Mc = (0,0,4/3).


2012-12-25 • Просмотров [ 2751 ]