Следовательно, область интегрирования D в плоскости Oxy ограничена прямой y = 5 − x, как показано на рисунке 1.2.

Объем тетраэдра будет равен:

\(V=\int \int \int_{V}{dxdydz}=\int_{0}^{5}{dz}\int_{0}^{5-x}{dy}\int_{0}^{5-x-y}{dz=}\)

\(=\int_{0}^{5}{dz}\int_{0}^{5-x}{dy}\cdot \left[(z)\mid_{0}^{5-x-y} \right]=\int_{0}^{5}{dx}\int_{0}^{5-x}{(5-x-y)}dy\)

\(\int_{0}^{5}{dx}\cdot \left[\left(5y-xy-\frac{y^2}{2} \right)\mid_{y=0}^{y=5-x} \right]=\)

\(\int_{0}^{5}{\left(5(5-x)-x(5-x)-\frac{(5-x)^2}{2} \right)}dx=\int_{0}^{5}{\left(25-5x-5x+x^2-\frac{25-10x+x^2}{2} \right)}dx=\)

\(=\frac{1}{2}\int_{0}^{5}{(25-10x+x^2)}dx=\frac{1}{2}\left[\left(25x-\frac{10x^2}{2}+\frac{x^3}{3}\right)\mid_{0}^{5} \right]=\)

\(=\frac{1}{2}\left(125-5\cdot 25+\frac{125}{3} \right)=\frac{125}{6}\)



Ответ:
125/6.


2012-12-27 • Просмотров [ 4429 ]