Несобственными интегралами называются:

1) интегралы с бесконечными пределами,

2) интегралы от неограниченных функций.

Несобственный интеграл от функции \(f(x)\) в пределах от \(a\) до \(+\infty\) определяется равенством

$$\int_{a}^{+\infty}{f(x)dx}=\lim _{b\rightarrow +\infty}\int_{a}^{b}{f(x)dx.}$$

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же предел не существует или равен бесконечност, - расходящимся.

Аналогично,

$$\int_{-\infty}^{b}{f(x)dx}=\lim _{a\rightarrow -\infty}\int_{a}^{b}{f(x)dx},\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x)dx}=\lim _{a\rightarrow -\infty,b\rightarrow +\infty}\int_{a}^{b}{f(x)dx}.$$

Насобственный инетграл \(\int_{a}^{b}{f(x)dx}\) называется сходящимся, если существует оба предела в правой части равенства, и расходящимся, если не существует хотя бы один из них.

Пример 1. Вычислить несобственный инетграл \(\int_{0}^{+\infty}{\cos xdx}\) (или установить его расходимость).

Имеем

$$\lim_{b\rightarrow +\infty}\int_{0}^{b}{\cos xdx}=\lim_{b\rightarrow +\infty}\sin x\mid _0^b=\lim_{b\rightarrow +\infty}(\sin b-\sin 0)=\lim_{b\rightarrow +\infty}\sin b,$$

т.е. предел не существует. Следовательно, несобственный интеграл расходится.

Пример 2. Найти \(\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{dx}{1+x^2}}.\)

Прединтегральная функция - четная, поэтому

$$\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{dx}{1+x^2}}=2\int_{0}^{+\infty}{\frac{dx}{1+x^2}}.$$

Тогда

$$\int_{0}^{+\infty}{\frac{dx}{1+x^2}}=\lim _{b\rightarrow +\infty }\int_{0}^{b}{\frac{dx}{1+x^2}}=\lim _{b\rightarrow +\infty }arctgx\mid _0^b=\lim _{b\rightarrow +\infty }arctgb=\frac{\pi }{2}.$$

Таким образом, \(\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{dx}{1+x^2}}=\pi\) т.е. несобственный интеграл сходится.

Пример 3. Найти \(\int_{0}^{1}{\frac{dx}{x}}\).

Подинтегральная функция \(f(x)=1/x\) в точке \(x=0\) неограничена, а потому имеем

$$\int_{0}^{1}{\frac{dx}{x}}=\lim _{a\rightarrow 0}\int_{a}^{1}{\frac{dx}{x}}=\lim _{a\rightarrow 0}\ln x\mid _a^1=\lim _{a\rightarrow 0}(\ln 1-\ln a)=+\infty,$$

т.е. несобственный интеграл расходится.

Пример 4. Исследовать сходимость интеграла \(\int_{0}^{+\infty }{\sin (x^2)dx}\) (интеграл Френеля).

Пусть \(x=\sqrt \tau ;\) тогда

$$\int_{0}^{+\infty }{\sin (x^2)dx}=\frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty }{\frac{\sin \tau }{\sqrt \tau}}.$$

Предствим стоящий справа интеграл в виде суммы:

$$\frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty }{\frac{\sin \tau }{\sqrt \tau}}=\int_{0}^{\pi /2}{\frac{\sin \tau }{\sqrt \tau}d\tau}+\int_{\pi /2}^{+\infty }{\frac{\sin \tau }{\sqrt \tau}d\tau}.$$

Первое слагаемое есть совственный интеграл, так как \(\lim _{\tau\rightarrow 0}\frac{\sin \tau }{\sqrt \tau}=0\); а ко второму применим интегрирование по частям, полагая \(u=1/\sqrt \tau,dv=\sin \tau d\tau\)

$$\int_{\pi /2}^{+\infty }{\frac{\sin \tau }{\sqrt \tau}d\tau}=-\frac{\cos \tau}{\sqrt \tau}\mid _{\pi /2}^{+\infty}-\frac{1}{2}\int_{\pi /2}^{+\infty }\frac{\cos \tau d\tau}{\sqrt {\tau^3}}=-\frac{1}{2}\int_{\pi /2}^{+\infty }\frac{\cos \tau d\tau}{\tau^{3/2}}.$$

Последний интеграл сходится, так как \(\frac{\cos \tau}{\tau ^{3/2}}\leq \frac{1}{\tau ^{3/2}}\) , а интеграл \(\int_{\pi /2}^{+\infty }\frac{ d\tau}{\tau^{3/2}}\) сходится. Поэтому \(\int_{0}^{+\infty }\frac{ \sin \tau}{\sqrt \tau}d\tau\) сходится на основании признака сходимости, а следовательно данный интеграл так же сходится.

Пример 5. Исследовать сходимость интеграла \(\int_{a}^{b}{\frac{dx}{(b-x)^p}}(a < b)\).

По определению

$$\int_{a}^{b}{\frac{dx}{(b-x)^p}}=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\int_{a}^{b-\varepsilon }{\frac{dx}{(b-x)^p}}=-\frac{1}{-p+1}\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}(b-x)^{-p+1}\mid _a^{b-\varepsilon }=$$

$$=\frac{1}{p-1}\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\varepsilon ^{-p+1}+\frac{1}{-p+1}(b-a)^{-p+1}.$$

Если \(p < 1\), то \(\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\varepsilon ^{+p+1}=0\) ; если же \(p > 1\), то \(\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\varepsilon ^{+p+1}=\infty\); если, наконец, \(p = 1\), то

$$\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\int_{a}^{b-\varepsilon }{\frac{dx}{b-x}}=-\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\ln (b-x)\mid _0^{b-\varepsilon }=\infty.$$

Следовательно, при \(p < 1\) интеграл \(\int_{a}^{b}{\frac{dx}{(b-x)^p}}\) сходится, а при \(p \geq 1\) - расходится.

Пример 6. Исследовать сходимость интеграла

$$\int_{0}^{1}{\frac{\cos ^2x}{\sqrt [3]{1-x^2}}dx.}$$

Подинтегральная функция является бесконечно большой при \(x\rightarrow 1.\) Представим ее в следующем виде:

$$f(x)={\frac{\cos ^2x}{\sqrt [3]{1-x^2}}}\cdot {\frac{1}{\sqrt [3]{1+x^2}}}={\frac{\cos ^2x}{\sqrt [3]{1-x^2}}}\cdot \frac{1}{(1-x)^1/3},$$

т.е. порядок бесконечно большой функции при \(x\rightarrow 1\) по сравнению с \(1/(1-x)\) равен \(p=1/3 < 1.\) Поэтому данный интеграл сходится на основании признака сходимости.

2012-12-18 • Просмотров [ 17066 ]