КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

Квадратним рівнянням називається рівняння виду \(ax^2+bx+c=0\), де \(x\) - невідоме, \(a, b, c\) - деякі числа, причому \(a\neq 0\).

Числа \(a, b, c\) - коефіцієнти квадратного рівняння: а - перший коефіцієнт, b - другий, c - вільний член. Якщо \(а=1\), рівняння називається зведеним. Якщо хоча б один із коефицієнтів b або c дорівнює 0, рівняння називається неповним.

ВИДИ НЕПОВНИХ КВАДРАТНИХ РІВНЯНЬ І ЇХ РОЗВ’ЯЗАННЯ

1)Якщо \(b=0, c=0\), квадратне рівняння набуває вигляду \(ax^2=0\) і має один корінь \(x=0\).

2)Якщо \(c=0, b\neq 0\), квадратне рівняння набуває вигляду \(ax^2+bx=0\). Розв’язуючи його, маємо: \(x(ax+b)=0; x=0\) або \(ax+b=0\).

Рівняння має два корені:

$$x_1=0; x_2=-\frac{b}{a}.$$

3)Якщо \(с\neq 0, b=0\), квадратне рівняння набуває вигляду \(ax^2+c=0\).

$$ax^2+c=0;$$

$$x^2=-\frac{c}{a}.$$

Якщо

$$-\frac{c}{a}>0,$$

рівняння має два корені:

$$x_{1,2}=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}.$$

Якщо

$$-\frac{c}{a}<0,$$

рівняння коренів не має.

ВИДІЛЕННЯ ПОВНОГО КВАДРАТА

Розв’язування квадратного рівняння способом виділення квадрата двочлена розглянемо на прикладі.

$$3x^2-5x-2=0.$$

Розв’язання

Поділимо всі коефіцієнти рівняння на перший коефіцієнт:

$$3x^2-5x-2=0|:3;$$

й отримаємо таким чином зведене квадратне рівняння:

$$x^2-\frac{5}{3}x-2=0;$$

$$x^2-2\cdot \frac{5}{6}x-\frac{2}{3}=0.$$

Для того, щоб отримати повний квадрат треба додати і відняти від лівої частини рівняння

$$\left(\frac{5}{6}\right)^2:$$

$$x^2-2\cdot \frac{5}{6}x+\left(\frac{5}{6}\right)^2-\left(\frac{5}{6}\right)^2-\frac{2}{3}=0;$$

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^2-\left(\frac{5}{6}\right)^2-\frac{2}{3}=0;$$

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^2=\frac{25}{36}+\frac{24}{36};$$

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^2=\frac{49}{36};$$

$$x-\frac{5}{6}=\frac{7}{6}$$

або

$$x-\frac{5}{6}-=\frac{7}{6};$$

$$x=2;$$

$$x=-\frac{1}{3}.$$

Відповідь:

$$2;-\frac{1}{3}.$$

ФОРМУЛА КОРЕНІВ КВАДРАТНОГО РІВНЯННЯ

Корені квадратного рівняння

$$ax^2+bx+c=0 (a=\neq 0)$$

знаходять за формулою

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Вираз \(b^2-4ac\) називається дискримінантом і позначається буквою D.

КІЛЬКІСТЬ КОРЕНІВ КВАДРАТНОГО РІВНЯННЯ

1)Якщо \(D<0\), рівняння не має коренів;

2)Якщо \(D=0\), рівняння має один корінь:

$$x=-\frac{b}{2a}$$

3)Якщо \(D>0\), рівняння має два корені:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}.$$

Для квадратних рівнянь із парним другим коефіцієнтом зручніше користуватися формулою, наведеною нижче.

Позначимо

$$D_1=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac.$$

Тоді, для \(D_1\ge 0 \) маємо:

$$x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{D_1}}{a}.$$


2016-06-20 • Просмотров [ 504 ]