ТЕОРЕМА ВІЄТА

Теорема 1(Вієта). Якщо незведене квадратне рівняння \(ax^2+bx+c=0\) має два корені, то

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}; x_1\cdot x_2=\frac{c}{a};$$

Якщо зведене квадратне рівняння \(x^2+px+q=0\) має два корені, то

$$x_1+x_2=-p; x_1\cdot x_2=q.$$

Коли рівняння має один корінь, його можна вважати за дів рівних \(x_1=x_2\). Тоді для незведеного квадратного рівняння

$$2x_1=-\frac{b}{a}; x_1^2=\frac{c}{a};$$

для зведеного \(2x_1=-p; x_1^2=q\).

Зверніть увагу: для того, щоб скористатися формулами теореми Вієта, треба спочатку переконатися у наявності коренів рівняння, перевіривши знак його дискримінанта.

Приклади

Знайти суму й додаток коренів рівняння

$$3x^2-5x+2=0$$

\(D=25-3\cdot 2\cdot 4=1\) - додатне число, і це означає, що рівняння має два корені.

Отже,

$$x_1+x_2=\frac{5}{3}; x_1\cdot x_2=\frac{2}{3}.$$

$$x^2+3x+10=0$$

\(D=9-40=-31\) - від’ємне число.

Рівняння не має коренів, знайти їх суму та добуток неможливо.

Теорема 2(обернена до теореми Вієта для зведених квадратних рівнянь). Якщо сума й добуток чисел \(x_1\) і \(x_2\) дорівнюють відповідно \(p\) і \(q\), то \(x_1\) і \(x_2\) є коренями рівняння \(x^2+px+q=0\).

Із теореми Вієта випливає, що цілі розв’язки рівняння \(x^2+px+q=0\) є дільниками числа \(q\). Користуючись оберненою теормемою, можна перевірита, чи є та чи інша пара дільників \(q\) коренями даного рівняння. Це дає можливість усно розв’язувати значну кількість зведених квадратних рівнянь.

Під час розв’язування треба також враховувати такі висновки за теореми Вієта.

1)Якщо \(q<0\), \(x_1\) і \(x_2\) мають різні знаки.

2)Якщо \(q>0\), \(x_1\) і \(x_2\) мають однакові знак(обидва від’ємні або додатні). Знак \(x_1\) і \(x_2\) є протилежним до знака \(p\).

Приклад

$$x^2-8x-9=0.$$

За теоремою Вієта:

$$x_1\cdot x_2=-9; x_1+x_2=8; 9=1\cdot 9=3\cdot 3.$$

Очевидно, що

$$8=9+(-1).$$

Відповідь: \(x_1=-1; x_2=9\).


2016-06-20 • Просмотров [ 594 ]