Интегрирование рациональных функций


     Важнейшим классом элементарных функций, интегралы от которых находятся при помощи достаточно простой последовательности действий, является класс рациональных функций. Всякая рациональная фунция \(R(x)\) может быть представлена в виде дроби \(\frac{P(x)}{Q(x)}\), где \(P(x)\) и \(Q(x)\) - многочлены: $$R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}.$$
     Прежде всего заметим, что если степень \(m\) числителя \(P(x)\) больше или равна степени \(n\) знаменателя \(Q(x)\), то, разделив многочлен \(P(x)\) на многочлен \(Q(x)\), мы получим в частном некоторый многочлен \(N(x)\) и в остатке многочлен \(P_{1}(x)\) не выше \((n-1)\)-й степени. Следовательно, $$\frac{P(x)}{Q(x)}=N(x)+\frac{P_{1}(x)}{Q(x)}.$$
     Интегрирование многочлена \(N(x)\) не доставляет никаких затруднений, и значит, весь вопрос заключается в интегрировании дроби, степень числителя которой меньше степени знаменателя.
     Итак, пусть степень числителя меньше степени знаменателя \((m\leq n)\). Такую рациональную дробь иногда называют правильной.
     1. Разложение на простейшие дроби. Мы предполагаем, что \(P(x)\) и \(Q(x)\) имеют действительные коэффициенты, причем коэффициент многочлена \(Q(x)\) при \(x^{n}\) равен 1 (этого всегда можно добиться делением числителя и знаменателя на коэффициент при \(x^{n}\)).
     Многочлен \(Q(x)\) - знаменатель заданной подынтегральной рациональной дроби - может быть представлен в виде прозведения линейных и квадратичных множителей с действительными коэффициентами

                     \(Q(x)=(x-\alpha )^{k}...(x^{2}+px+q)^{t}...,\)
(1)

где \(\alpha\) есть \(k\)-кратный действительный корень уравнения \(Q(x)=0\), а квадратное уравнение \(x^{2}+px+q=0\) имеет сопряженные комплексные корни (и значит, \(p^{2}-4q<0\)), которые служат \(t\)-кратными сопряженными комплексными корнями уравнения \(Q(x)=0\). Интегрирование рациональной дроби \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) мы основываем на знании разложения (1) многочлена \(Q(x)\) на действительные множители (или, что равносильно этому, на знании всех корней уравнения \(Q(x)=0\)). При этом оказывается, что дробь \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) можно представить в виде суммы так называемых простейших дробей 1-го и 2-го видов
$$\frac{A_{i}}{(x-\alpha )^{i}},$$
$$\frac{B_{i}x+C_{i}}{(x^{2}+px+q)^{i}},$$

где \(A_{i}\), \(B_{i}\), \(C_{i}\) - постоянные, а именно:
     Каждому множителю \((x-\alpha )^{k}\) в представлении (1) знаменателя \(Q(x)\) соответствует в разложении дроби \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) на слагаемые сумма \(k\) простейших дробей 1-го вида $$\frac{A_{k}}{(x-\alpha )^{k}}+\frac{A_{k-1}}{(x-\alpha )^{k-1}}+...+\frac{A_{1}}{x-\alpha},$$
а каждому множителю \((x^{2}+px+q)^{t}\) соответствует сумма \(t\) простейших дробей 2-го вида $$\frac{B_{t}x+C_{t}}{(x^{2}+px+q)^{t}}+\frac{B_{t-1}x+C_{t-1}}{(x^{2}+px+q)^{t-1}}+...+\frac{B_{1}x+C_{1}}{x^{2}+px+q}.$$

     Таким образом, при разложении (1) знаменателя \(Q(x)\) на множители имеет место разложение дроби \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) на слагаемые:
           $$\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{A_{k}}{(x-\alpha )^{k}}+\frac{A_{k-1}}{(x-\alpha )^{k-1}}+...+\frac{A_{1}}{x-\alpha }+...+\frac{B_{t}x+C_{t}}{(x^{2}+px+q)^{t}}+\frac{B_{t-1}+C_{t-1}}{(x^{2}+px+q)^{t-1}}+...+\frac{B_{1}x+C_{1}}{x^{2}+px+q}+...$$
(2)

     Отсюда следует, что интеграл от всякой рациональной дроби сводится к интегралам от простейших рациональных дробей 1-го и 2-го видов, а эти интегралы находятся очень легко.
     Итак, предлагаемый метод интегрирования рациональных дробей \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) состоит в том, что, зная разложение знаменателя на множители, мы составляем разложение (2) и данный интеграл заменяем суммой интегралов от соответствующих простейших дробей.
     Интеграл от любой рациональной функции всегда может бы найден. Он выражается через рациональные функции, логарифмы и арктангенсы, т.е. является элементарной функцией. Это замечание существенно, так как во многих случаях интегралы даже от очень простых функций уже не будут функциями элементарными.
     Поэтому очень часто при интегрировании шлавные усилия направляются на отыскание такой замены переменной, которая приводила бы данный интеграл к интегралу от рациональной функции. О таких заменах говорят, что они рационализируют интеграл.


2012-11-02 • Просмотров [ 1271 ]