Понятие предиката

    В алгебре логики высказывания рассматриваются как нераздельные целые и только с точки зрения их истинности или ложности. Ни структура высказываний, ни, тем более, их содержание не затрагиваются. В то же время и в науке, и в практике используются заключения, существенным образом зависящие как от структуры, так и от содержания используемых в них высказываний.
    Например, в рассуждении "Всякий ромб – параллелограмм; АВСD – ромб; следовательно, АВСD - параллелограмм" посылки и заключение являются элементарными высказываниями логики высказываний и с точки зрения этой логики рассматриваются как целые, неделимые, без учета их внутренней структуры. Следовательно, алгебра логики, будучи важной частью логики, оказывается недостаточной в анализе многих рассуждений.
    В связи с этим возникает необходимость в расширении логики высказываний, в построении такой логической системы, средствами которой можно было бы исследовать структуру тех высказываний, которые в рамках логики высказываний рассматриваются как элементарные.
    Такой логической системой является логика предикатов, содержащая всю логику высказываний в качестве своей части.
    Логика предикатов, как и традиционная формальная логика, расчленяет элементарное высказывание на субъект (буквально – подлежащее, хотя оно может играть и роль дополнения) и предикат (буквально – сказуемое, хотя оно может играть и роль определения).
    Субъект - это то, о чем что-то утверждается в высказывании; предикат - это то, что утверждается о субъекте.
    Например, в высказывании "7 - простое число", "7" – субъект, "простое число" – предикат. Это высказывание утверждает, что "7" обладает свойством "быть простым числом".
    Если в рассмотренном примере заменить конкретное число 7 переменной \(x\) из множества натуральных чисел, то получим высказывательную форму "\(x\) – простое число". При одних значения \(x\) (например, \(x\)=13, \(x\)=17) эта форма дает истинные высказывания, а при других значениях \(x\) (например, \(x\)=10, \(x\)=18) эта форма дает ложные высказывания.
    Ясно, что эта высказывательная форма определяет функцию одной переменной \(x\), определенной на множестве \(N\), и принимающую значения из множества \(\begin{Bmatrix} 1; 0 \end{Bmatrix}\). Здесь предикат становится функцией субъекта и выражает свойство субъекта.
    Одноместным предикатом \(P ( x)\) называется произвольная функция переменного \(x\), определенная на множестве \(M\) и принимающая значение из множества \(\begin{Bmatrix} 1; 0 \end{Bmatrix}\).
    Множество \(M\), на котором определен предикат \(P ( x)\), называется областью определения предиката.
    Множество всех элементов \(x \epsilon M\), при которых предикат принимает значения "истина", называется множеством истинности предиката \(P ( x)\), то есть множество истинности предиката \(P ( x)\) - это множество \(I_{p} = \begin{Bmatrix} x: x \epsilon M, P (x) =1 \end{Bmatrix}\).
    Так, предикат \(P ( x)\) - "\(x\) – простое число" определен на множестве \(N\), а множество истинности \(I_{p}\) для него есть множество всех простых чисел. Предикат \(Q (x)\) – "\(\sin x = 0\)" определен на множестве \(R\), а его множеством истинности \(I_{Q} = \begin{Bmatrix} \kappa \pi , \kappa \epsilon Z \end{Bmatrix}\). Предикат \(F ( x)\) – "Диагонали параллелограмма \(x\) перпендикулярны" определен на множестве всех параллелограммов, а его множеством истинности является множество всех ромбов.
    Приведенные примеры одноместных предикатов выражают свойства предметов.
    Предикат \(P ( x)\), определенный на множестве \(M\), называется тождественно истинным (тождественно ложным), если \(I _{P} = M\) \(( I _{P} = \oslash ).\)
    Естественным обобщением понятия одноместного предиката является понятие многоместного предиката, с помощью которого выражаются отношения между предметами.
    Примером бинарного отношения (отношения между двумя предметами) является отношение "меньше". Пусть это отношение введено на множестве \(Z\) целых чисел. Оно может быть охарактеризовано высказывательной формой "\(x \prec y\)", где \(x, y \epsilon Z\), то есть является функцией двух переменных \(P ( x, y)\), определенной на множестве \(Z \times Z\) c множеством значений \(\begin{Bmatrix} 1, 0 \end{Bmatrix}\).
    Двухместным предикатом \(P ( x, y)\) называется функция двух переменных \(x\) и \(y\), определенная на множестве \(M = M_{1} \times M _{2}\) и принимающая значения из множества \(\begin{Bmatrix} 1, 0 \end{Bmatrix}\).
    В числе примеров двухместных предикатов можно назвать такие предикаты: \(Q ( x, y ) - " x = y"\) - предикат равенства, определенный на множестве \(R^{2} = R \times R\); \(F ( x, y) - " x // y"\) – прямая \(x\) параллельна \(y\), определенный на множестве прямых, лежащих на данной плоскости.
    Аналогично определяется \(n\)-местный предикат.
    Пример 1. Среди следующих предложений выделить предикаты и для каждого из них указать область истинности, если \(M = R\) для одноместных предикатов и \(M = R \times R\) для двухместных предикатов:
    1) \(x + 5 =1;\)
    2) при \(x = 2\) выполняется равенство \(x ^{2} -1 = 0;\)
    3) \(x ^{2} + 2x + 1 =0;\)
    4) существует такое число \(x\), \(x ^{2} + 2x + 1 =0;\)
    5) \(x + 2 \prec 3x - 4 ;\)
    6) однозначное число \(x\) кратное 3;
    7) \((x + 2 ) - (3x - 4) ;\)
    8) \(x ^{2} + y ^{2} \succ 0.\)
    Решение.
    1) Предложение является одноместным предикатом \(P (x) , I_{P} = \begin{Bmatrix} -4 \end{Bmatrix}\);
    2) предложение не является предикатом. Это ложное высказывание;
    3) предложение является одноместным предикатом \(P (x) , I_{P} = \begin{Bmatrix} 1 \end{Bmatrix}\);
    4) предложение не является предикатом. Это истинное высказывание;
    5) предложение является одноместным предикатом \(P (x) , I_{P} = \begin{Bmatrix} 3; +\propto \end{Bmatrix}\);
    6) предложение является одноместным предикатом \(P (x) , I_{P} = \begin{Bmatrix} 0; 3; 6; 6 \end{Bmatrix}\);
    7) предложение не является предикатом;
    8) предложение является двухместным предикатом \(Q (x, y) , I_{Q} = R \times R\) \ \(\begin{Bmatrix} ( 0,0) \end{Bmatrix}\).
    Пример 2. Выяснить, какие из следующих предикатов являются тождественно истинными:

    1) \(x ^{2} + y^{2} \geq 0\);
    2) \(x ^{2} + y^{2} \succ 0\);
    3) \(\sin ^{2} x + \cos ^{2 } x =1\);
    4) \(( x + 1 ) ^{2} \succ x - 1\);
    5) \(x ^{2} + 1 \geq ( x + 1 ) ^{2}\).
    Решение. Очевидно, предикаты 1), 3), 4) являются тождественно истинными. В предикате 2) при \(x =0\), \(у =0\) неравенство нарушается, а в предикате 5) неравенство нарушается при всех положительных значениях \(x\). Следовательно, предикаты 2) и 5) не тождественно истинны.


2012-11-06 • Просмотров [ 5287 ]