Корреляционный момент

    Характеристика \(K_{xy}\) называется корреляционным моментом (иначе — «моментом связи») случайных величин \(X\), \(Y\).
    Для прерывных случайных величин корреляционный момент выражается формулой

$$K_{xy}=\sum_{i}\sum_{j}{(x_{i}-m_{x})(y_{j}-m_{j})}p_{ij}$$
а для непрерывных — формулой
$$K_{xy}= \int_{- \infty}^{\infty}{\int (x_{i}-m_{x})(y_{j}-m_{j})}f(x, y)dxdy$$
    Выясним смысл и назначение этой характеристики.
    Корреляционный момент есть характеристика системы случайных величин, описывающая, помимо рассеивания величин \(X\) и \(Y\), еще и связь между ними. Для того чтобы убедиться в этом, докажем, что для независимых случайных величин корреляционный момент равен нулю.
    Доказательство проведем для непрерывных случайных величин. Пусть \(X\), \(Y\) — независимые непрерывные величины с плотностью распределения \(f(x, у)\). Для независимых величин
$$f(x, y)=f_{1}(x)f_{2}(y)$$
где \(f_{1}(x)\), \(f_{2}(y)\) — плотности распределения соответственно величин \(X\) и \(Y\).
Интеграл:
$$\int_{- \infty}^{\infty} (x-m_{x})f_{1}(x)dx$$
представляет собой не что иное, как первый центральный момент величины \(X\), и, следовательно, равен нулю; по той же причине равен нулю и второй сомножитель; следовательно, для независимых случайных величин \(К_{ху} = 0\).
    Таким образом, если корреляционный момент двух случайных величин отличен от нуля, это есть признак наличия зависимости между ними.
    Из формулы видно, что корреляционный момент характеризует не только зависимость величин, но и их рассеивание. Действительно, если, например, одна из величин \((X, Y)\) весьма мало отклоняется от своего математического ожидания (почти не случайна), то корреляционный момент будет мал, какой бы тесной зависимостью ни были связаны величины \((X, Y)\). Поэтому для характеристики связи между величинами \((X, Y)\) в чистом виде переходят от момента \(K_{xy}\) к безразмерной характеристике.
$$r_{xy}=\frac{K_{xy}}{\sigma _{x}\sigma _{y}}$$
где \(\sigma_{x}\), \(\sigma_{y}\) —средние квадратические отклонения величин \(X\), \(Y\). Эта характеристика называется коэффициентом корреляции величин \(X\) и \(Y\).
    Очевидно, коэффициент корреляции обращается в нуль одновременно с корреляционным моментом; следовательно, для независимых случайных величин коэффициент корреляции равен нулю.
    Случайные величины, для которых корреляционный момент (а значит, и коэффициент корреляции) равен нулю, называются некоррелированными (иногда — «несвязанными»).


2012-12-21 • Просмотров [ 2992 ]