Начальные и центральные моменты

    Кроме характеристик положения — средних, типичных значений случайной величины, — употребляется еще ряд характеристик, каждая из которых описывает то или иное свойство распределения. В качестве таких характеристик чаще всего применяются так называемые моменты.
    Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс (статические моменты, моменты инерции и т. д.). Cовершенно теми же приемами пользуются в теории вероятностей для описания основных свойств распределения случайной величины. Чаще всего применяются на практике моменты двух видов: начальные и центральные.
    Начальным моментом \(s\)-го порядка прерывной случайной величины \(X\) называется сумма вида:

\(\alpha _{S}=\sum_{i=1}^{n}{x_{i}^{S}p_{i}}\).

(1)

    Очевидно, это определение совпадает с определением начального момента порядка \(s\) в механике, если на оси абсцисс в точках \(x_{1}, x_{2},..., x_{n}\) сосредоточены массы \(p_{1}, p_{2},..., p_{n}\).
    Для непрерывной случайной величины \(X\) начальным моментом \(s\)-го порядка называется интеграл

\(\alpha _{S}|X|=\int_{-\infty}^{\infty}{x^{S}{f(x)}}dx\).

(2)

    Пользуясь знаком математического ожидания, можно объединить две формулы 1 и 2 в одну. Поэтому можно написать общее определение начального момента \(s\)–го порядка, справедливое как для прерывных, так и для непрерывных величин: $$\alpha _{S}[X]=M[X^{S}]$$ т. е. начальным моментом \(s\)-го порядка случайной величины \(X\) называется математическое ожидание \(s\)-й степени этой случайной величины.
    Пусть имеется случайная величина \(X\) с математическим ожиданием \(m_{x}\). Центрированной случайной величиной, соответствующей величине \(X\), называется отклонение случайной величины \(X\) от ее математического ожидания: $$X=X-m_{x}$$     Центрирование случайной величины, очевидно, равносильно переносу начала координат в среднюю, «центральную» точку, абсцисса которой равна математическому ожиданию.
    Моменты центрированной случайной величины носят название центральных моментов. Они аналогичны моментам относительно центра тяжести в механике.
    Таким образом, центральным моментом порядка \(s\) случайной величины \(X\) называется математическое ожидание \(s\)-й степени соответствующей центрированной случайной величины: $$\mu_{S}[X]=M[\dot{X}^{S}]=M[(X-m_{x})^{S}]$$     Для прерывной случайной величины \(s\)-й центральный момент выражается суммой $$\mu_{S}=\sum_{i=1}^{n}{(x_{i}-m_{x})^{S}p_{i}}$$ а для непрерывной — интегралом $$\mu_{S}=\int_{-\infty}^{-\infty}{(x-m_{x})^{S}f(x)dx}$$     Очевидно, для любой случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю: $$m_{1}=M[\dot{X}]=M[X-m_{x}]$$

---