Во многих задачах практики приходится иметь дело со случайными величинами, распределенными по своеобразному закону, который называется законом Пуассона.
     Рассмотрим прерывную случайную величину \(X\), которая может принимать только целые, неотрицательные значения:

$$0, 1, 2,..., m,...$$
причем последовательность этих значений теоретически не ограничена.
    Говорят, что случайная величина \(X\) распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определенное значение \(m\), выражается формулой
$$P_{m}=\frac{a^{m}}{m!}e^{-a}$$
    где \(a\) — некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона.     Ряд распределения случайной величины \(X\), распределенной по закону Пуассона, имеет вид:
\(x_{m}\)
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(...\)
\(m\)
\(...\)
\(P_{m}\)
\(e^{-a}\)
\(\frac{a}{1!}e^{-a}\)
\(\frac{a}{2!}e^{-a}\)
\(...\)
\(\frac{a^{m}}{m!}e^{-a}\)
\(...\)

    Определим основные характеристики — математическое ожидание и дисперсию—случайной величины \(X\);, распределенной по закону Пуассона. По определению математического ожидания
$$m_{x}=M[X]=\sum_{m=0}^{0}{m P_{m}} =\sum_{m=0}^{0}{m \frac{a^{m}}{m!}e^{-a}}$$
$$m_{x}=ae^{-a}\sum_{k=0}^{0}{\frac{a^{k}}{k!}} =ae^{-a}e^{a}=a$$
    Таким образом, параметр \(a\) представляет собой не что иное, как математическое ожидание случайной величины \(X\).
    Далее находим дисперсию величины \(X\):
$$D_{x}=a_{2}-m_{x}^{2}=a^{2}+a-a^{2}=a$$
    Таким образом, дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равна ее математическому ожиданию \(a\).
    Это свойство распределения Пуассона часто применяется на практике для решения вопроса, правдоподобна ли гипотеза о том, что случайная величина \(X\) распределена по закону Пуассона. Для этого определяют из опыта статистические характеристики — математическое ожидание и дисперсию — случайной величины. Если их значения близки, то это может служить доводом в пользу гипотезы о пуассоновском распределении; резкое различие этих характеристик, напротив, свидетельствует против гипотезы.


2012-12-14 • Просмотров [ 3448 ]