Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле. Продолжение. Начало здесь


     II. Правило замены переменной (подстановки).
     Правило замены переменой в определенном интеграле требует большого внимания.
     Если \(x=\psi (u)\), то $$\int f(x)dx=\int f[\psi (u)]\psi '(u)du.$$
При этом, если известен один из интегралов, то известен и второй. Если первый равен \(F(x)\) (произвольную постоянную \(C\) не пишем), то второй равен \(F[\psi (u)]\); если же известен второй интеграл, то чтобы найти первый, нужно вместо \(u\) подставить его выражение через \(x\).
     Теперь сформулируем правило. Если в интервале \([u_{1}, u_{2}]\) функции \(x=\psi (u)\), \(\psi '(u)\) и \(f[\psi (u)]\) непрерывны и \(\psi (u_{1})=x_{1}\), \(\psi (u_{2})=x_{2}\), то

$$\int_{x_{1}}^{x_{2}}{f(x)dx}=\int_{u_{1}}^{u_{2}}{f[\psi (u)]\psi '(u)du}.$$
(Б)

     Доказательство. Будем считать, что неопределенный интеграл слева известен и равен \(F(x)\); тогда $$\int_{x_{1}}^{x_{2}}{f(x)dx}=F(x_{2})-F(x_{1}).$$
Согласно сказанному выше неопределенный интеграл справа равен \(F[\psi (u)]\), и поэтому $$\int_{u_{1}}^{u_{2}}{f[\psi (u)]\psi '(u)du}=F[\psi (u_{2})]-F[\psi (u_{1})]=F(x_{2})-F(x_{1}).$$
Сравнивая полученные равенства, получаем формулу (Б).
     Из формулы (Б) видно, что одынтегральное выражение преобразуется так же, как и в случае неопределенного интеграла. Новые же пределы интегрирования \(u_{1}\) и \(u_{2}\) являются корнями уравнений
$$x_{1}=\psi (u)$$
и
$$x_{2}=\psi (u)$$

относительно не изветсной \(u\).
     Итак, вместо того, чтобы, выполнив при помощи замены переменной неопределенное интегрирование, вернуться к первоначальной переменной, а затем вычислить двойную подстановку в данных пределах, можно сразу взять двойную подстановку в новых пределах. Результат - значение определенного интеграла - получится тот же, а выкладок потребуется меньше.
     Часто замена переменной в определенном интеграле производится не по формуле \(x=\psi (u)\), а по формуле \(u=\varphi (x)\), выражающей новую переменную через заданную. Тогда новые пределы \(u_{1}\) и \(u_{2}\) сразу определяются по формулам
$$u_{1}=\varphi (x_{1}),$$
$$u_{2}=\varphi (x_{2}).$$

     При этом иногда возникают затруднения, связанные с тем, что если функция \(u=\varphi (x)\) не монотонная, то обратная к ней функция \(x=\psi (u)\) будет неоднозначной. Может даже оказаться, что различным значениям \(x_{1}\) и \(x_{2}\) будут соответствовать одинаковые значения \(u_{1}=u_{2}\) (например, при подстановке \(u=\cos x\) в пределах от \(-\frac{\pi }{2}\) до \(\frac{\pi }{2}\)) и интеграл справа в формуле (Б) будет равен нулю, а слева нет. Поэтому, чтобы формула (Б) оставалась справедливой, нужно на функцию \(u=\varphi (x)\) наложить некоторые ограничения: достаточно потребовать, чтобы \(\varphi (x)\) была в интервале \((x_{1}, x_{2})\) монотонна и имела производную, не равную нулю ни в одной внутренней точке интервала (короче, производная \(\varphi '(x)\) должна сохранять постоянный знак). Тогда обратная функция \(x=\psi (u)\) будет удовлетворять всем требованиям, сформулированным в правиле подстановке.


     Пример 2. $$\int_{0}^{\frac{1}{2}}{\frac{x^{2}dx}{\sqrt{1-x^{2}}}}.$$
Положим \(x=\sin u\). Новые пределы интегрирования \(u_{1}\) и \(u_{2}\) найдем из уравнений \(0=\sin u\) и \(\frac{1}{2}=\sin u\); \(u_{1}\) можно взять равным \(0\), а \(u_{2}\) - равным \(\frac{\pi }{6}\). При изменении \(u\) от \(0\) до \(\frac{\pi }{6}\). переменная \(x=\sin u\) пробежит весь данный интервал интегрирования \(\left[0, \frac{1}{2} \right]\). таким образом, $$\int_{0}^{\frac{1}{2}}{\frac{x^{2}dx}{\sqrt{1-x^{2}}}}=\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}{\frac{\sin ^{2}u\cos u}{\cos u}du}=\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}{\sin ^{2}udu}=\frac{1}{2}(u-\frac{\sin 2u}{2})\mid _{0}^{\frac{\pi }{6}}=\frac{\pi }{12}-\frac{\sqrt{3}}{8}.$$
     При выборе новых пределов интегрирования мог возникнуть вопрос: почему взяты пределы \(u_{1}=0\) и \(u_{2}=\frac{\pi }{6}\), а не, скажем \(u_{1}=0\) и \(u_{2}=\frac{5\pi }{6}\)? Ведь \(\sin \frac{5\pi }{6}\) тоже равен \(\frac{1}{2}\). Можно проверить, что и при этих пределах величина интеграла останется прежней, однако его вычисление усложниться. Дело в том, что теперь \(\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{\cos ^{2}u}\) уже не равно просто \(u\). Это имеет место только в интервале \([0, \frac{\pi }{2}]\), где \(\cos u\geq 0\); в интервале же \(\left[\frac{\pi }{2}, \frac{5\pi }{6} \right]\) корень будет равен \(-\cos u\), так как \(\cos u\leq 0\). Поэтому $$\int_{0}^{\frac{1}{2}}{\frac{x^{2}dx}{\sqrt{1-x^{2}}}}=\int_{0}^{\frac{5\pi }{6}}{\frac{\sin ^{2}u\cos u}{\left|\cos u \right|}du}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin ^{2}udu}-\int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{5\pi }{6}}{\sin ^{2}udu}.$$
Произведя дальнейшие выкладки, получим тот же результат, что и раньше. Чтобы избежать ненужных осложнений при вычислениях, всегда берут наименьший возможный интервал изменения новой переменной интегрирования.


     Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле. Примеры решения задач. Продолжение здесь


2012-11-06 • Просмотров [ 3002 ]